Geometría por todos lados

Los antiguos egipcios veían la Tierra con forma de huevo, protegido por la noche por la Luna, un gran pájaro blanco que, como las ocas, empollan su huevo. Homero entendía nuestro planeta como un disco redondo rodeado por el río Océano, algo que le hacía mucha gracia a Heródoto, que consideraba evidente pensar que estaba rodeado por un desierto. Para Esquilo nuestro planeta era un bien proporcionado paralelogramo. Por el contrario, los aztecas creían que vivíamos en un cuadrado. De hecho, el universo entero se reducía a cinco cuadrados, uno central y los otros cuatro en cada uno de sus lados conteniendo los cuatro puntos cardinales. Para otros pueblos el universo era una rueda, o incluso un tetraedro.

Discos, huevos, cuadrados… Todas ellas son formas, y el estudio de las formas corresponde a la geometría —del griego, medición de la tierra—. Además de la aritmética, el arte de sumar y restar, posiblemente no haya una rama de las matemáticas más cercana a la realidad que percibimos.

La geometría se encuentra a nuestro alrededor: desde la concha del Nautilus pompilius al rosetón de la portada de la catedral de Chartres, desde las parcelas y cortinas de cultivo de un pueblo de la meseta castellana hasta el cristal de sal común. Sin ella resulta imposible establecer algo tan simple y, a la vez, tan necesario como es la extensión de una tierra de cultivo. Simplemente imaginemos lo complicado que puede convertirse la compra de una parcela rectangular a tantas pesetas la yugada, sabiendo que la yugada no es otra cosa que la tierra arada por una pareja de bueyes desde que sale el sol hasta el ocaso. Hoy muy pocos confiaríamos en una medición tan poco precisa. Mal que nos pese, echaremos mano de la geometría que nos enseñaron en la escuela y multiplicaríamos el largo por el ancho.

La Geometría —con g mayúscula— nació hace 2.300 años en la entonces próspera y floreciente ciudad de Alejandría. La dinastía macedonia de los Ptolomeos habían fundado un templo a las Musas, el Museo, famoso por su biblioteca compuesta por miles de pergaminos traídos de todas partes. Fue allí donde Euclides escribió uno de los libros más importantes de la historia: Elementos de Geometría. El libro es fundamental por dos motivos: uno, porque recopilaba todo lo que hasta entonces se sabía de geometría; dos, porque lo hizo de una manera que quedaría por siempre como método de trabajo en las matemáticas: a partir de unos pocos postulados que se aceptan sin demostración porque resultan evidentes, se deducen todas las consecuencias, teoremas, posibles. Euclides partió de cinco postulados y con ellos construyó la Geometría.

Elementos se convirtió en el libro de texto básico para cualquier matemático de los siglos venideros; un libro que fascinó y enamoró a muchos. Entre ellos se encontraba el filósofo británico Thomas Hobbes, cuando a sus 40 años ojeó por primera vez el libro de Euclides y al llegar al teorema de Pitágoras exclamó: «¡Por Dios! ¡Esto es imposible!» Tras volver hacia atrás y rehacer paso a paso la demostración se convenció, y desde entonces su pasión por ella fue tal que aplicó los métodos de la geometría a su filosofía política.

Y aun hoy el mundo seguiría siendo euclidiano si no fuera por el quinto postulado de Euclides, también conocido como el postulado de las paralelas, que en su versión moderna, dada por el matemático John Playfair en 1795, dice: Dada una recta y un punto que no pertenece a la recta, sólo se puede trazar una línea paralela a la primera que pase por ese punto. Este quinto postulado no era del gusto de Euclides, que en su libro intentó utilizarlo lo menos posible. Durante mucho tiempo los matemáticos buscaron afanosamente la forma de demostrar que ese quinto postulado podía deducirse de los otros cuatro, pero buscaron en vano a pesar de que en diferentes ocasiones se creyó haber encontrado la prueba. Tuvimos que esperar al tardío año de 1817 para que uno de los matemáticos más brillantes de la historia, Karl Friedrich Gauss, se convenciera de que este postulado era independiente de los otros cuatro. De hecho, descubrió que si lo negaba, si permitía trazar más de una paralela a una recta por un punto dado, obtenía una geometría totalmente consistente. Pero el brillante y nada polemista Gauss no se atrevió a publicar sus resultados. Las ideas del filósofo Inmanuel Kant dominaban el pensamiento de la época: «la geometría euclidiana es la necesidad inevitable del pensamiento» había dicho. Y, al igual que había sucedido en la Edad Media con Aristóteles, no se podía contradecir al filósofo.

Lo que sí hizo fue comentárselo a su amigo matemático Farkas Bolyai, que a su vez instruyó a su hijo János en el arte de las matemáticas pero advirtiéndole: «No pierdas ni una hora de tu tiempo en el problema del quinto postulado». Como buen hijo no hizo caso a su padre. El trabajo de János sobre geometría creó un nuevo mundo y Gauss lo calificó como al joven geómetra como «un genio de primer orden». Seis años más tarde, en 1829, un ruso llamado Nicolai Ivanovich Lobachevsky publicaba un trabajo sobre esta nueva geometría en una oscura revista de la universidad local. Pero su intento de hacerlo llegar a un público más amplio fue ahogado por uno de los popes de las matemáticas rusas, Ostrogradski.

Este mismo fantasma persiguió a una de las mentes más originales de las matemáticas: Georg F. B. Riemann. Discípulo de Gauss, su conferencia impartida el 10 de junio de 1854 para obtener su habilitación, el grado que le permitía ser profesor en una universidad alemana, es recordada como un clásico de las matemáticas. Su título: Sobre las hipótesis que fundamentan la geometría. Un trabajo que no será comprendido hasta 60 años después. Porque, ¿quién podía imaginar que oculto tras el quinto postulado de Euclides se encontrase el mismo universo?

Noviembre de 1915. Albert Einstein lanza al mundo su obra maestra, producto exclusivo de una mente prodigiosa: la teoría general de la relatividad. Con ella pudimos comprender no sólo cómo actuaba la gravedad, sino qué era. La presentó en la Academia de Ciencias Prusiana, hecho que en adelante recordaría como el momento más dichoso de su vida. Hasta entonces, la gravedad era entendida como el genial Isaac Newton la había formulado en su celebérrimo Principios Matemáticos de la Filosofía Natural: una fuerza de acción a distancia e instantánea. De hecho, Newton nunca trató de explicar lo que era la gravedad, sino de dar una descripción matemática de cómo actuaba. Fue en el curso de las tres famosas lecciones dictadas por Einstein cuando se hizo la luz. En ellas, dio a conocer una teoría que conectaba la geometría del espacio con la materia presente en él. Quizá la frase que resuma mejor la teoría einsteniana es la que aparece en el clásico libro Gravitation de los físicos Wheeler, Thorne y Misner: «El espacio dice a la materia cómo debe moverse; la materia dice al espacio cómo debe curvarse».

Para visualizar el funcionamiento de la gravedad imaginemos una cama elástica como representación bidimensional del espacio-tiempo en que vivimos. Si no hay nada encima de ella (materia), su forma (geometría) es totalmente plana, sin deformaciones. Supongamos que colocamos en el centro una esfera de hierro maciza (una estrella). La superficie elástica va a deformarse debido a la presencia de masa. Si arrojamos una canica (una sonda espacial, un rayo de luz) hacia ella, veremos que seguirá la pendiente cayendo hacia ella o, si llega algo desviada, describirá una trayectoria curva a su alrededor; estará orbitando en torno a la masa central. Ésta es la idea básica de la relatividad general: el valor de la curvatura en un punto del espacio es una medida de la gravedad existente en dicho punto. Y a mayor densidad del objeto, mayor curvatura y, por tanto, mayor gravedad. Y no sólo eso. La misma estructura del universo, su forma, depende de la materia que contiene.

Un comentario Agrega el tuyo

  1. Gabriel dice:

    Hola amigo primero que nada te felicito por tu blog tiene muchas cosas interesantes. Pero yo no termino de entender lo que dices sobre por que algunos astros quedan en orbiata a otros de mayor tamaño, no deberia simplemente atraerlo hacia el centro de su masa?

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