Archive for the ‘Matemáticas’ category

El superjuego… matemático

3 julio 2013

No es raro escuchar a alguien decir que «las matemáticas nunca fueron mi fuerte» o «no me hables de matemáticas; yo soy de letras». Incluso a veces podemos escuchar a nuestro interlocutor vanagloriarse de que no tiene ni idea de matemáticas, que a él le basta con sumar y restar.

Por desgracia, las consecuencias del anumerismo matemático son graves. La vida cotidiana está repleta de situaciones donde un conocimiento elemental de matemáticas resulta fundamental para tomar una decisión adecuada. Esto es especialmente exagerado en nuestra percepción de la probabilidad. Un ejemplo lo tenemos en la llamada «falacia del jugador». Supongamos que en la ruleta de un casino ha salido seis veces seguidas el color rojo. Los jugadores suelen pensar que en la partida siguiente hay más posibilidades de que salga negro cuando en realidad hay la misma que antes, un 50%.

Esta ceguera ante las probabilidades es aún más marcada cuando queremos analizar situaciones de riesgo. Sabemos distinguir entre lo que no comporta ningún riesgo y lo que sí lo tiene. Sin embargo, somos incapaces de diferenciar entre un acto que tiene, por ejemplo, un 1/10.000 de riesgo de otro con un 1/100. Lo que nos preocupa no es si el riesgo es alto o bajo, sino que existe riesgo. Y aún más grave: mientras desechamos realizar ciertos actos porque comportan riesgo, asumimos otros donde el porcentaje de riesgo es mayor.

Y es que el ser humano no sabe estimar probabilidades de manera intuitiva; necesitamos aprender a hacerlo. Nuestro cerebro tiene la manía de hacernos creer que un acontecimiento es muy probable de que ocurra, no basándose en pulcros cálculos probabilísticos, sino por un motivo mucho más mundano: cuanto más fácil nos resulte imaginarlo mentalmente y cuanto más nos impresione emotivamente.

Alguien dijo una vez que en esta vida sólo hay dos cosas ciertas: la muerte y los impuestos. Y es verdad. El resto de las cosas nos pueden suceder… o no. En fin, que nuestra vida está gobernada por la probabilidad.

Sabido esto, lo que resulta más chocante es que no nos preocupemos realmente por entender lo que es la probabilidad. Ni tan siquiera sintamos la más mínima necesidad de saber estimarla, y eso teniendo en cuenta que el ser humano posee una innata incapacidad para interpretarla. A veces pienso que se trata de algo genético. Si no, les reto a que hagan el siguiente experimento con sus amigos.

A un grupo de ellos propóngale el siguiente problema. Imaginen que el gobierno está preparando un remedio para la famosa gripe A. Sus amigos forman parte del equipo que debe decidir entre dos tratamientos. De 600 personas, el tratamiento A salvará con certeza a 200. Del B hay una probabilidad de un tercio de que se salven las 600 y, por tanto, dos tercios de que no se salve ninguna. Ahora elijan qué tratamiento escogerían. Cuando esta pregunta se hizo a un grupo de personas el 72% escogió el programa A.

Ahora plantee este problema, pero con otro enfoque, a otro grupo de amigos. Dígales que con el programa A morirán con toda certeza 400 personas y con el programa B no morirá ninguna con un tercio de posibilidades y morirán las 600 con dos tercios. De nuevo, si se cumple el promedio, el 78% de las personas a quienes se les hizo esta pregunta escogió el programa B.

¿Cómo es posible que, siendo el problema idéntico, se opten por dos programas diferentes simplemente porque se ha presentado de manera distinta? Aún peor. A largo plazo ambos programas tienen el mismo resultado: se salvan 200 y mueren 400, luego resulta indiferente decantarse por uno o por otro.

El número de la belleza

5 mayo 2011

¿Qué tienen en común una tarjeta de crédito, la reproducción de los conejos, la coliflor, los pétalos de las margaritas y el Partenón? Exactamente 1,6180339887…
¿Qué tiene de especial ese número? ¿Qué hace que no sea como los demás? Del mismo modo que el número pi, 3,141592…, representa al cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,61803… es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Proporción: “Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como in divinic hay una misma sustancia entre tres personas –Padre, Hijo y Espíritu Santo- de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de mas o de menos”. Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo. Siglos más tarde el matemático estadounidense Mark Barr le asignó la letra griega fi, en honor al escultor Fidias, que lo usó en sus obras.

El número áureo pertenece al conjunto de los número irracionales, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos número enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional -un descubrimiento que incomodó de tal modo a los pitagóricos que lo ocultaron al mundo-. En nuestro caso, el número áureo lo podemos computar calculadora en mano si seguimos estas sencillas instrucciones. Calculamos la raíz cuadrada de 5, le sumamos 1 y el total lo dividimos por 2. Si sabemos programar un ordenador, podemos intentar batir el récord del mayor número de decimales calculados: en el año 2000 y con menos de 3 horas de computación, se encontraron las primeras 1.500 miles de millones de cifras decimales.

Matemáticamente hablando podemos definir el número áureo como aquél que si le sumamos uno sale el mismo resultado que si lo elevamos al cuadrado. Si el 4 fuera el número áureo, para calcular su cuadrado no haría falta hacer la operación de 4 por 4, que sale 16, sino que bastaría con sumarle 1 -en realidad, hay dos números aúreos, uno positivo (1,61803…) y otro negativo (–0,61803…), pero es el primero el que se ha llevado la gloria-.

Hasta aquí todo esto puede parecernos pura numerología. Es como si alguien, con muy poco trabajo y mucho tiempo libre, se hubiera tomado la molestia de empezar a buscar relaciones curiosas con los números. Sin embargo, lo verdaderamente misterioso es que ese número tan extraño lo encontramos en el crecimiento de las plantas, en las piñas, en la distribución de las hojas en un tallo o en la formación de las caracolas. También en el carné de identidad, las tarjetas de crédito, gran parte de las tarjetas de presentación y como en casi todas las cajetillas de tabaco. O en el Partenón. O en el ejemplo de lo que es un cuerpo armonioso: el hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci.

Siguiendo los pasos de quienes más le influyeron, Leon Battista Alberti y Filarete, Leonardo creía que la anatomía y la arquitectura estaban relacionadas. Fue en la década de 1480, mientras trataba de ganarse al duque de Milán y a los arquitectos de la corte, cuando profundizó en esta relación que expresó el su famoso dibujo de 1487, basado claramente en la descripción del arquitecto Marco Vitruvio: “En el cuerpo humano la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se tumba boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la circunferencia descrita a partir de ese centro. Y también puede inscribirse en una figura cuadrada”. Si dividimos el lado del cuadrado (la altura del ser humano) por el radio de la circunferencia (la distancia del ombligo a la punta de los dedos) tendremos el número áureo. Si el lector quiere saber si es bellamente perfecto, sólo tiene que coger una regla…

Poco a poco Leonardo se fue obsesionando con la búsqueda de pautas que relacionaran, no sólo la anatomía con la arquitectura, sino con la estructura armónica de la música y con la propia naturaleza. Su búsqueda de proporciones en el mundo que le rodeaba (como su intento de relacionar la circunferencia de las copas de los árboles con la longitud de sus ramas) fue intensa pero vana. No obstante, no era una idea errónea. Porque mirando la naturaleza podemos encontrar el número áureo en diferentes contextos. Pero antes debemos echar la vista atrás y prestar atención a un matemático italiano del siglo XIII que tenía una poco oscura pasión por los conejos y su tasa reproductiva…

En 1202 Fibonacci se preguntaba acerca de cuán rápido se expandirían los conejos por la Tierra en condiciones ideales. Supongamos, se dijo, que tenemos una única pareja, que están preparados para procrear al mes de existencia y dan a luz a una nueva pareja tras un mes de gestación. ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año? Al final del primer mes la pareja original está dispuesta a procrear, pero sigue habiendo una única pareja. Al final del segundo mes tendremos la original y su primera pareja-hija. Al finalizar el tercero habrá en el campo la original, la primera pareja (que ya está a punto para procrear) y una segunda pareja-hija. Al terminar el cuarto mes tendremos la original y su tercera pareja-hija, la primera pareja y si primera pareja-hija, y la segunda pareja-hija, que ya está dispuesta para procrear.

En definitiva, la sucesión de parejas de conejos es: 1, 1, 2, 3, 5. ¿Es capaz de adivinar el lector el patrón que se esconde tras esa sucesión? Si la alargamos un poco resulta más fácil: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… En efecto, la llamada sucesión de Fibonacci (o números de Fibonacci) se obtiene sumando los dos previos para obtener el siguiente. Ahora bien, ¿qué tiene que ver esta sucesión de números con el número áureo? Coja el lector una calculadora y divida uno cualquiera por su inmediato anterior: a medida que progrese en la sucesión el cociente se irá acercando más y más al número áureo. Dicho en términos matemáticos: la sucesión de números creada dividiendo un número de Fibonacci por su inmediato anterior tiende, o tiene como límite, el número áureo. Esto es, esta sucesión infinita de números termina, en el infinito, en el número áureo.

El problema con los conejos de Fibonacci es que son ideales. ¿Existe algún ejemplo más realista de que esta ‘sucesión áurea’ se encuentre en la naturaleza? Sí. En el árbol familiar de cualquier zángano de un panal. Éste nace del huevo no fertilizado de la reina, luego tiene una madre pero no tiene padre. Por el contrario, tanto la reina (la única que puede poner huevos) como las obreras nacen del huevo fertilizado por un macho. Tienen, por tanto, padre y madre. Teniendo esto en mente, el árbol familiar de un zángano queda como sigue: tiene 1 madre, 2 abuelos (macho y hembra), 3 bisabuelos (dos de la familia de la abuela y uno de la del abuelo), 5 tatarabuelos, 8 tataratatarabuelos… ¡El árbol genealógico del zángano es una sucesión de Fibonacci! Y no sólo eso: en 1966 Doug Yanega, del Museo de Investigación Entomológica de la Universidad de California, descubrió que la relación que existe entre abejas hembras y machos en una comunidad es cercana al número áureo.

Convirtamos ahora los números en cuadrados. Pongamos dos cuadrados de lado unidad uno junto a otro. Encima de ellos dibujemos otro de lado el doble. A la derecha, añadamos otro de lado el triple. Debajo, el correspondiente a 5 y así sucesivamente, de modo que cada nuevo cuadrado tenga de lado la suma de los dos cuadrados anteriores. Si ahora dibujamos un cuarto de circunferencia dentro de cada cuadrado (empezando por el primero) como en la fotografía del comienzo del reportaje, tendremos una espiral logarítmica. Que es, justamente, la que presenta la concha del Nautilus. Coja el lector un lápiz y trace una línea cualquiera que vaya desde el centro al exterior. Fíjese en dos puntos en los que esta línea corte a la concha, con la única condición de que la espiral haya dado una vuelta completa entre ambos. Comprobará que el más exterior está 1,618 veces más lejos del centro que el del interior. Esto quiere decir que el factor de crecimiento de la concha es el número áureo.

Los números de Fibonacci los encontramos en el número de espirales a la izquierda y a la derecha que podemos contar en las semillas de los girasoles y en las piñas de los pinos, en el número de pétalos de las flores (3 el iris, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 ó 85), en el número de flores en las espirales de la coliflor y del bróculi (cada uno de ellos es una diminuta coliflor en sí misma. Si cuenta las espirales en ambas direcciones que salen de esas miniflores, ¿qué número le sale? Busque números de Fibonacci en el plátano y en la manzana…) Incluso las hojas alrededor del tallo siguen este orden.

¿Por qué este gusto de la Naturaleza por la sucesión de Fibonacci? Hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo un ángulo fijo porque éste es el mejor sistema de empaquetamiento aunque la planta crezca. Si colocamos el número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento para que reciban todas ellas el máximo de luz sin que unas se oculten a otras; en el caso de las flores, la mejor exposición paras atraer a los insectos polinizadores. Y los números de Fibonacci son la mejor aproximación que existe al número áureo.

Visto todo esto, no resulta sorprendente que el Partenón pueda enmarcarse en un rectángulo áureo –aquél que el cociente de su longitud por su altura sale el número áureo-. Igual sucede con las tarjetas de crédito. ¿Acaso hay algo más bello que una Visa sin límite de gasto?

La cuadratura del círculo y el número pi

5 enero 2011

Las matemáticas han sido campo abonado para los trabajos más fútiles. Uno de ellos es el conocido de la cuadratura del círculo, o lo que es lo mismo, intentar construir un cuadrado que tenga la misma área que un círculo.

Entre quienes intentaron resolver este problema insoluble estuvo el filósofo Thomas Hobbes, que estaba tan enamorado de la geometría que aplicó sus métodos a la filosofía política. Si se hubiera contentado con ser un aficionado más sus últimos años de vida hubieran sido más tranquilos de lo que fueron.

Creyéndose capaz de realizar grandes descubrimientos, con 64 años publicó el libro titulado Sobre los Cuerpos, donde aparecía un ingenioso método para cuadrar el círculo. En realidad era una buena aproximación, pero Hobbes creía que era absolutamente exacto. Un importante matemático de entonces, John Wallis, publicó un folleto enumerando los errores de Hobbes, lo que desencadenó uno de los debates más divertidos y estériles de la historia de las matemáticas.

Durante casi 15 años se lanzaron todo tipo de puyas y sarcasmos en una disputa que fue en parte mantenida por Wallis porque detestaba las ideas políticas y religiosas de Hobbes. Éste respondió al ataque de Wallis reeditando su libro con una addenda titulada Seis lecciones para profesores de matemáticas a lo que Wallis contraatacó con Castigo escolar impuesto al señor Hobbes por no dar debidamente sus lecciones. Hobbes replicó con Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje patán, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos de John Wallis, y Wallis devolvió el golpe con Puncto dispunctio o la refutación de los puntos del señor Hobbes.

Para darnos cuenta del tipo de lindezas que se proferían, veamos uno de los últimos ataques de Hobbes: “Todos vuestros escritos no son sino errores o sarcasmos; esto es, nauseabundos flatos, hedores de mulo viejo cinchado en exceso tras un hartazgo”.

No vamos a explicar los errores del filósofo, que Wallis denominaba “la curiosa incapacidad del señor de Hobbes de aprender lo que no sabe”. Simplemente mencionaremos que el culpable de la imposibilidad de construir un cuadrado y un círculo con la misma área es el número pi, el famoso 3,1416.

Claro que no acaba ahí, sino que tiene infinitos decimales. Pi es un número que los matemáticos llaman trascendente, esto es, que no se puede obtener como solución de una ecuación que contenga, además de la consabida incógnita, números positivos, negativos o fracciones –lo que se conoce como números racionales–. Por este motivo, el área de un cuadrado, que es lado por lado, nunca puede ser igual a la de un círculo, pi por el radio al cuadrado.

De este número el inglés del siglo XIX Augustus de Morgan escribió: “Este misterioso 3,1415927… que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por cualquier chimenea”. Es cierto. Aparece en multitud de lugares que nada tienen que ver con la circunferencia. Por ejemplo: si tomamos al azar dos números naturales –1, 2, 3, 4…–, ¿cuál es la probabilidad de que carezcan de divisores comunes, esto es, números que dividan a los dos de manera exacta? La respuesta, asombrosa, es 6 dividido por pi al cuadrado.

Pero para juegos numerológicos nada mejor que el del matemático suizo Leonhard Euler que descubrió la asombrosa relación que lleva su nombre, la identidad de Euler. En esta expresión se encuentran los cinco números más importantes de las matemáticas. Tres son bien conocidos, 1, 0 y pi. Los otros dos son la unidad imaginaria i (la raíz cuadrada de -1), y el número e, no tan famoso pero también muy importante.

Matemáticos… Humanos a fin de cuentas (II)

27 diciembre 2010

Es en este campo de la ciencia donde suelen florecer esos casos especiales del intelecto humano. El matemático Paul Hamos dijo en cierta ocasión que hay dos tipos de genios: los que son como todo el mundo, pero a un nivel mucho más alto, y los que parecen poseer un toque que va más allá de lo humano.

Uno de estos últimos fue el alemán Karl Friedrich Gauss, el más grande matemático de la historia. Nacido en 1777 en el seno de una familia muy pobre, era hijo de un albañil sin recursos económicos. Gracias a su diario sabemos que se dedicó a la investigación matemática desde los 16 años. En su tesis doctoral expuso la primera demostración rigurosa del teorema fundamental del álgebra, fue el iniciador de la teoría de números y afinó las ecuaciones que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol, lo que permitió calcular la órbita del asteroide Ceres, recién descubierto. Estadística, geometría, magnetismo fueran algunas de las ramas en las que hizo contribuciones fundamentales de este hombre cuyo sello era un árbol con pocos frutos bajo el lema, Pauca sed matura (pocos, pero maduros).

Otro ser a años-luz del resto de los mortales fue el húngaro John von Neumann (nacido Margittai Neumann János Lajos), “el hombre más inteligente del siglo XX”: con 6 años dividía mentalmente dos números de ocho cifras y bromeaba con su padre en griego clásico, y con 8 sabía cálculo y recitaba una página de la guía de teléfonos de Budapest entera, con sus nombres, apellidos y números de teléfono. Neumann tenía memoria fotográfica.
Quizá lo que más llame la atención a quienes piensan que los científicos son unos seres aburridos sea la profunda devoción de von Neumann a dar fantásticas fiestas, donde derrochaba encanto y era capaz de abrumar a sus interlocutores manteniendo una conversación en cuatro idiomas diferentes. Eso sí, seguía la tradición del genio distraído. En cierta ocasión salió de su casa de Princeton porque tenía una cita en Nueva York. A mitad de camino se detuvo y llamó a su mujer: “Oye, ¿para qué tengo que ir yo a Nueva York?”

Quien quisiera conocerle mejor se enfrentaba ante un muro impenetrable. Adicto al trabajo, no podía decirse que fuera una persona sensible: sus sentimientos, si los tuvo, los ocultó bajo toneladas de hielo. En Princeton se decía que Neumann era un semidiós que había hecho un estudio detallado de los seres humanos y los imitaba a la perfección. Claro que su elección fue la de un ser humano rico, pues gracias a su genio amasó una considerable fortuna. A este “semidiós” le encantaba la ropa cara, los chistes verdes, los buenos vinos, los coches rápidos, la comida mexicana y las mujeres.

Matemáticos… humanos a fin de cuentas (I)

16 diciembre 2010

Josiah Willard Gibbs era un callado y retraído profesor de Física Matemática de la Universidad de Yale y uno de los ejemplos más claros de cómo una mente brillantísima puede ir unida a una extraordinaria modestia. Fue siempre indiferente a la fama y sus aportaciones matemáticas, decisivas para la ciencia de la termodinámica, las publicó, semienterrándolas, en la desconocida revista Transactions of the Connecticut Academy. Cuentan que su impenitente silencio lo rompió durante una acalorada discusión de café acerca de qué disciplina, las lenguas clásicas, las lenguas modernas o la ciencia, entrenaba mejor a la mente. Gibbs, con su habitual parsimonia, se levantó y dijo: “Señores, las matemáticas son un lenguaje”. Y volvió a sentarse.

Ciertamente las matemáticas son un lenguaje universal y por eso los científicos pueden comunicarse entre sí aunque no comprendan el idioma con quien comparten su información. Pero lo más misterioso de todo es que son el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea. El lenguaje con el que se expresa la naturaleza es el de las matemáticas y quien quiera leer ese libro debe aprenderlas. No sabemos muy bien por qué esto es así. Es más, tampoco tenemos claro que la naturaleza “sepa” matemáticas.
Quien más se acercó a ese anhelo por entender cómo conocemos el mundo fue el brillante lógico Kurt Gödel, del que este año celebramos el aniversario de su nacimiento. Nacido en la actual Brno, en la República Checa –la ciudad donde Mendel descubrió las leyes de la genética–, es famoso por el llamado primer teorema de incompletitud: cualquier sistema lógico que se base en cierto número de afirmaciones que se aceptan sin demostrar (axiomas) es, por definición, incompleto. O sea, que habrá afirmaciones que no se podrán probar a partir de los axiomas del sistema. Este teorema causó un gran revuelo entre los matemáticos porque les dice que da igual lo mucho que se esfuercen por demostrarlo todo: es imposible.

Kurt Gödel, tímido, retraído y excéntrico, siempre vestía ropa de abrigo. Incluso en pleno verano llevaba su gabán abotonado hasta arriba y mantenía encendida una estufa eléctrica en su despacho. En invierno dejaba todas las ventanas de su casa abiertas, pues creía que intentaban asesinarle usando gas venenoso. Estaba obsesionado con la enfermedad pero no hacía ningún caso de las recomendaciones de sus médicos. Hacia el final de su vida creía que querían eliminarle envenenado su comida, por lo que sólo se alimentaba de lo que cocinaba su mujer; ni tan siquiera se fiaba de la que él mismo pudiera preparar. Y éste fue el motivo de su muerte. A finales de 1977 su mujer cayó gravemente enferma y dejó de cocinar. Gödel rehusó comer y murió de inanición el 14 de enero de 1978.

Su espíritu lógico quedó claro cuando pidió convertirse en ciudadano norteamericano. Como todo inmigrante, debía demostrar que poseía un conocimiento general de la Constitución y que, por supuesto, la aceptaba. Gödel estudió desde el punto de vista formal sus diferentes artículos y descubrió, para su horror, que dejaba un resquicio para la dictadura.

La víspera de la entrevista ante el juez se lo contó a su amigo Oskar Morgenstern, un matemático economista y co-creador de la teoría de juegos –que se usa, por ejemplo, para analizar las relaciones económicas y políticas entre países–. Morgenstern se horrorizó, no por el descubrimiento de Gödel, sino porque sabía que era capaz de decir cualquier tontería y jugarse la nacionalidad. Gödel necesitaba que dos ciudadanos americanos le avalaran: uno era Morgenstern y el otro era su gran amigo Albert Einstein, dos padrinos de lujo.

Ninguno las tenía todas consigo: temían que metiera la pata. Al día siguiente el juez quedó impresionado por la reputación pública de los padrinos de Gödel y rompió con la tradición invitándoles a sentarse mientras realizaba la entrevista. El juez dijo: “Hasta ahora usted ha tenido nacionalidad alemana”. Gödel, ligeramente ofendido, le comentó que era austriaco. El juez, sin perturbarse, continuó: “De todos modos, su país tuvo que sufrir una dictadura horrible… pero afortunadamente eso no puede suceder en América”. Era lo que Gödel necesitaba. Sin poderse contener gritó: “¡Todo lo contrario! ¡Yo sé cómo puede suceder y puedo probarlo!”. Calmarle y evitar que enunciara su demostración requirió de todo el buen hacer de Morgenstern, Einstein y el juez.

El trabajo de Gödel dio al traste con uno de los empeños intelectuales más intensos y prolongados del siglo XX: el de Nicolas Bourbaki. Algo llamativo, pues se trata de un matemático que nunca existió. Nacido en 1935, era el nombre de un grupo de jóvenes matemáticos franceses que veían la necesidad de renovar completamente el fundamento de su disciplina. Su anhelo era derivar toda afirmación matemática a partir de un reducido conjunto de afirmaciones, los axiomas, sin apelar para nada a la intuición o al sentido común.

Es curioso que ninguno de sus fundadores recordara exactamente de dónde salió el nombre. Lo único claro es que se refiere a un general francés, Charles Bourbaki, que murió en la guerra de independencia griega. Entre sus miembros se encontraba el gran Jean Dieudonné, el escribano del grupo y defensor público del trabajo de Bourbaki. Experto cocinero, gourmet y catador de vinos, dicen que era capaz de adivinar la cosecha por el olor del sacacorchos incluso antes de descorchar la botella.

Cerebro dividido

1 marzo 2010

En la década de los sesenta Mike Gazzaniga defendía su tesis doctoral en el famoso Caltech, el Instituto Tecnológico de California. Una tesis que iba a causar sensación entre neurólogos y psicólogos.

El tema de su trabajo de doctorado fue estudiar las consecuencias psicológicas de la cirugía de escisión cerebral, un procedimiento en el cual se cortan las conexiones nerviosas entre los dos hemisferios del cerebro. La razón a tan tremendo operación quirúrgica era un intento por controlar la epilepsia grave. Habían operado a un grupo de pacientes en Darmouth y el cirujano pidió a Gazzaniga que los estudiara. Sus descubrimientos fueron asombrosos.

Cuando se divide el cerebro deja de existir comunicación entre ambos hemisferios. Debido a que la funciones del lenguaje se localizan normalmente en el lado izquierdo, la persona sólo es capaz de hablar de cosas que ese lado conoce. Si a una persona con el cerebro dividido se le muestran estímulos que sólo ve el hemisferio derecho, no es capaz de describir lo que ha visto. Sin embargo, si al hemisferio derecho se le da la oportunidad de responder sin tener que hablar –por ejemplo, reconocerlo por el tacto con la mano izquierda- entonces sí es capaz de identificarlo.

Pero el caso más asombroso fue el de un paciente de finales de los años 30 conocido por las siglas P.S. Era un paciente especial porque podía leer palabras con ambos hemisferios, cosa que los demás eran incapaces de hacer. Sin embargo, y como el resto de los pacientes, sólo podía hablar a través de su hemisferio izquierdo. Cuando se le presentaban estímulos emocionales al hemisferio izquierdo, P.S. podía decir qué era el estímulo y cómo se sentía, si era algo malo o bueno. Cuando se presentaba el mismo estímulo emocional al hemisferio derecho, el habla del izquierdo era incapaz de decir lo que era. Sin embargo, sí podía juzgar correctamente si el estímulo visto por el derecho era malo o bueno. Así, ante la palabra “madre” P.S. lo calificaba como bueno y la palabra “diablo” como malo. Al parecer, los estímulos emocionales siguen un camino que la cirugía de escisión no corta.

El duelista y la teoria de grupos

2 octubre 2009

El 25 de octubre de 1811 nacía en Bourg-la-Reine, un pequeño pueblecito en las cercanías de París, Évariste Galois. Su padre era el alcalde del pueblo y tanto él como su madre tenían una sólida formación cultural que supieron transmitir a sus hijos, al igual que un profundo desprecio hacia cualquier forma de tiranía. Cuando Évariste comenzó a asistir a la escuela a la edad de doce años, demostró muy poco interés por el latín y el griego pero, en cambio, quedó prendado de la belleza de las matemáticas, sobretodo por el libro Geometría del gran matemático francés nacido en Turín Joseph-Louis Legendre. Galois, aunque estudió con fruición álgebra y análisis, su trabajo en clase de matemáticas fue siempre mediocre y sus maestros lo consideraban como alguien rarillo. A los 16 años Évariste ya sabía lo que sus maestros ignoraban: que era un genio en matemáticas. Convencido de ello esperaba entrar en la escuela donde se habían formado tantos matemáticos famosos, la prestigiosa Escuela Politécnica.

Primer deseo y primera decepción: su solicitud fue rechazada por carecer de formación sistemática. Un año más tarde, con 17 años, desarrolló en un artículo sus descubrimientos fundamentales. Se lo entregó a uno de los matemáticos más importantes de la época, Antoine-Louis Cauchy, cuya cabeza era tan brillante como despistada. Cauchy solía olvidar dónde dejaba los artículos que le entregaban pero para la época de Galois ya había pasado a convertirse en un especialista en perder artículos. Galois, que se lo había enviado a Cauchy para que lo presentara en su nombre en la Academia de Ciencias, tenía ahora motivos para detestar no sólo a los profesores sino también a los académicos. Si a todo esto sumamos un nuevo fracaso en su segundo intento de ingresar en la Escuela Politécnica y que su padre, acorralado por culpa de una serie de intrigas clericales, se suicidó, no resulta extraño que Évariste se sintiera hundido y miserable.

A pesar de tantos reveses Galois siguió insistiendo y al final pudo entrar en la Escuela Normal y así poder prepararse para la enseñanza. Y en sus pocas horas libres, siguió investigando. En 1830 presentó un trabajo para optar al premio en matemáticas concedido por la Academia. El artículo no pasó por las manos de Cauchy sino por las de otro matemático insigne, Fourier. Galois podía respirar tranquilo. Fourier se llevó el trabajo a su casa para poder leerlo con detenimiento y la mala fortuna volvió a cebarse con el pobre Évariste. Fourier murió poco después y su trabajo se perdió irremisiblemente.

En 1830 afloró su hondo sentimiento contra la tiranía y se puso de parte de los revolucionarios. Una durísima carta contra el director de la Escuela le valió su expulsión. Por tercera vez presentó un trabajo a la Academia y, cumpliendo el refrán, esta vez no se perdió. El artículo contenía lo que hoy se conoce como teoría de Galois pero el encargado de valorarlo, otro matemático insigne de nombre Poisson, se lo devolvió con una anotación: «incomprensible».

Galois, asqueado, se apuntó en la Guardia Nacional. En 1831, durante una reunión, hizo un brindis que se consideró como una amenaza a la vida del emperador y fue arrestado. Aunque fue liberado, nueve meses más tarde le volvieron a arrestar y esta vez dio con sus huesos en la cárcel. Poco tiempo después se vio envuelto en un asunto de faldas poco claro que terminó en un duelo. La noche anterior al mismo escribió a sus amigos: «He sido desafiado por dos patriotas; no he podido negarme».

Las pocas horas que le quedaban hasta el amanecer las dedicó a poner por escrito algunos de sus descubrimientos con la esperanza de que fueran publicados y que otros matemáticos pudieran evaluar su importancia. Y en la madrugada del 30 de mayo de 1832 Galois se enfrentó en un duelo a pistola. Recibió un balazo que le perforó los intestinos y quedó tirado en el campo hasta que un campesino que pasaba por allí lo recogió y lo llevó a un hospital. Galois murió de peritonitis a la mañana siguiente. Tenía sólo 20 años.


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