Archive for the ‘Matemáticas’ category

El superjuego… matemático

3 julio 2013

No es raro escuchar a alguien decir que «las matemáticas nunca fueron mi fuerte» o «no me hables de matemáticas; yo soy de letras». Incluso a veces podemos escuchar a nuestro interlocutor vanagloriarse de que no tiene ni idea de matemáticas, que a él le basta con sumar y restar.

Por desgracia, las consecuencias del anumerismo matemático son graves. La vida cotidiana está repleta de situaciones donde un conocimiento elemental de matemáticas resulta fundamental para tomar una decisión adecuada. Esto es especialmente exagerado en nuestra percepción de la probabilidad. Un ejemplo lo tenemos en la llamada «falacia del jugador». Supongamos que en la ruleta de un casino ha salido seis veces seguidas el color rojo. Los jugadores suelen pensar que en la partida siguiente hay más posibilidades de que salga negro cuando en realidad hay la misma que antes, un 50%.

Esta ceguera ante las probabilidades es aún más marcada cuando queremos analizar situaciones de riesgo. Sabemos distinguir entre lo que no comporta ningún riesgo y lo que sí lo tiene. Sin embargo, somos incapaces de diferenciar entre un acto que tiene, por ejemplo, un 1/10.000 de riesgo de otro con un 1/100. Lo que nos preocupa no es si el riesgo es alto o bajo, sino que existe riesgo. Y aún más grave: mientras desechamos realizar ciertos actos porque comportan riesgo, asumimos otros donde el porcentaje de riesgo es mayor.

Y es que el ser humano no sabe estimar probabilidades de manera intuitiva; necesitamos aprender a hacerlo. Nuestro cerebro tiene la manía de hacernos creer que un acontecimiento es muy probable de que ocurra, no basándose en pulcros cálculos probabilísticos, sino por un motivo mucho más mundano: cuanto más fácil nos resulte imaginarlo mentalmente y cuanto más nos impresione emotivamente.

Alguien dijo una vez que en esta vida sólo hay dos cosas ciertas: la muerte y los impuestos. Y es verdad. El resto de las cosas nos pueden suceder… o no. En fin, que nuestra vida está gobernada por la probabilidad.

Sabido esto, lo que resulta más chocante es que no nos preocupemos realmente por entender lo que es la probabilidad. Ni tan siquiera sintamos la más mínima necesidad de saber estimarla, y eso teniendo en cuenta que el ser humano posee una innata incapacidad para interpretarla. A veces pienso que se trata de algo genético. Si no, les reto a que hagan el siguiente experimento con sus amigos.

A un grupo de ellos propóngale el siguiente problema. Imaginen que el gobierno está preparando un remedio para la famosa gripe A. Sus amigos forman parte del equipo que debe decidir entre dos tratamientos. De 600 personas, el tratamiento A salvará con certeza a 200. Del B hay una probabilidad de un tercio de que se salven las 600 y, por tanto, dos tercios de que no se salve ninguna. Ahora elijan qué tratamiento escogerían. Cuando esta pregunta se hizo a un grupo de personas el 72% escogió el programa A.

Ahora plantee este problema, pero con otro enfoque, a otro grupo de amigos. Dígales que con el programa A morirán con toda certeza 400 personas y con el programa B no morirá ninguna con un tercio de posibilidades y morirán las 600 con dos tercios. De nuevo, si se cumple el promedio, el 78% de las personas a quienes se les hizo esta pregunta escogió el programa B.

¿Cómo es posible que, siendo el problema idéntico, se opten por dos programas diferentes simplemente porque se ha presentado de manera distinta? Aún peor. A largo plazo ambos programas tienen el mismo resultado: se salvan 200 y mueren 400, luego resulta indiferente decantarse por uno o por otro.

El número de la belleza

5 mayo 2011

¿Qué tienen en común una tarjeta de crédito, la reproducción de los conejos, la coliflor, los pétalos de las margaritas y el Partenón? Exactamente 1,6180339887…
¿Qué tiene de especial ese número? ¿Qué hace que no sea como los demás? Del mismo modo que el número pi, 3,141592…, representa al cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,61803… es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Proporción: “Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como in divinic hay una misma sustancia entre tres personas –Padre, Hijo y Espíritu Santo- de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de mas o de menos”. Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo. Siglos más tarde el matemático estadounidense Mark Barr le asignó la letra griega fi, en honor al escultor Fidias, que lo usó en sus obras.

El número áureo pertenece al conjunto de los número irracionales, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos número enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional -un descubrimiento que incomodó de tal modo a los pitagóricos que lo ocultaron al mundo-. En nuestro caso, el número áureo lo podemos computar calculadora en mano si seguimos estas sencillas instrucciones. Calculamos la raíz cuadrada de 5, le sumamos 1 y el total lo dividimos por 2. Si sabemos programar un ordenador, podemos intentar batir el récord del mayor número de decimales calculados: en el año 2000 y con menos de 3 horas de computación, se encontraron las primeras 1.500 miles de millones de cifras decimales.

Matemáticamente hablando podemos definir el número áureo como aquél que si le sumamos uno sale el mismo resultado que si lo elevamos al cuadrado. Si el 4 fuera el número áureo, para calcular su cuadrado no haría falta hacer la operación de 4 por 4, que sale 16, sino que bastaría con sumarle 1 -en realidad, hay dos números aúreos, uno positivo (1,61803…) y otro negativo (–0,61803…), pero es el primero el que se ha llevado la gloria-.

Hasta aquí todo esto puede parecernos pura numerología. Es como si alguien, con muy poco trabajo y mucho tiempo libre, se hubiera tomado la molestia de empezar a buscar relaciones curiosas con los números. Sin embargo, lo verdaderamente misterioso es que ese número tan extraño lo encontramos en el crecimiento de las plantas, en las piñas, en la distribución de las hojas en un tallo o en la formación de las caracolas. También en el carné de identidad, las tarjetas de crédito, gran parte de las tarjetas de presentación y como en casi todas las cajetillas de tabaco. O en el Partenón. O en el ejemplo de lo que es un cuerpo armonioso: el hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci.

Siguiendo los pasos de quienes más le influyeron, Leon Battista Alberti y Filarete, Leonardo creía que la anatomía y la arquitectura estaban relacionadas. Fue en la década de 1480, mientras trataba de ganarse al duque de Milán y a los arquitectos de la corte, cuando profundizó en esta relación que expresó el su famoso dibujo de 1487, basado claramente en la descripción del arquitecto Marco Vitruvio: “En el cuerpo humano la parte central es el ombligo. Pues si un hombre se tumba boca arriba, con los brazos y las piernas extendidas, y se centran un par de compases en el ombligo, los dedos de las manos y los pies tocarán la circunferencia descrita a partir de ese centro. Y también puede inscribirse en una figura cuadrada”. Si dividimos el lado del cuadrado (la altura del ser humano) por el radio de la circunferencia (la distancia del ombligo a la punta de los dedos) tendremos el número áureo. Si el lector quiere saber si es bellamente perfecto, sólo tiene que coger una regla…

Poco a poco Leonardo se fue obsesionando con la búsqueda de pautas que relacionaran, no sólo la anatomía con la arquitectura, sino con la estructura armónica de la música y con la propia naturaleza. Su búsqueda de proporciones en el mundo que le rodeaba (como su intento de relacionar la circunferencia de las copas de los árboles con la longitud de sus ramas) fue intensa pero vana. No obstante, no era una idea errónea. Porque mirando la naturaleza podemos encontrar el número áureo en diferentes contextos. Pero antes debemos echar la vista atrás y prestar atención a un matemático italiano del siglo XIII que tenía una poco oscura pasión por los conejos y su tasa reproductiva…

En 1202 Fibonacci se preguntaba acerca de cuán rápido se expandirían los conejos por la Tierra en condiciones ideales. Supongamos, se dijo, que tenemos una única pareja, que están preparados para procrear al mes de existencia y dan a luz a una nueva pareja tras un mes de gestación. ¿Cuántas parejas habrá al cabo de un año? Al final del primer mes la pareja original está dispuesta a procrear, pero sigue habiendo una única pareja. Al final del segundo mes tendremos la original y su primera pareja-hija. Al finalizar el tercero habrá en el campo la original, la primera pareja (que ya está a punto para procrear) y una segunda pareja-hija. Al terminar el cuarto mes tendremos la original y su tercera pareja-hija, la primera pareja y si primera pareja-hija, y la segunda pareja-hija, que ya está dispuesta para procrear.

En definitiva, la sucesión de parejas de conejos es: 1, 1, 2, 3, 5. ¿Es capaz de adivinar el lector el patrón que se esconde tras esa sucesión? Si la alargamos un poco resulta más fácil: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… En efecto, la llamada sucesión de Fibonacci (o números de Fibonacci) se obtiene sumando los dos previos para obtener el siguiente. Ahora bien, ¿qué tiene que ver esta sucesión de números con el número áureo? Coja el lector una calculadora y divida uno cualquiera por su inmediato anterior: a medida que progrese en la sucesión el cociente se irá acercando más y más al número áureo. Dicho en términos matemáticos: la sucesión de números creada dividiendo un número de Fibonacci por su inmediato anterior tiende, o tiene como límite, el número áureo. Esto es, esta sucesión infinita de números termina, en el infinito, en el número áureo.

El problema con los conejos de Fibonacci es que son ideales. ¿Existe algún ejemplo más realista de que esta ‘sucesión áurea’ se encuentre en la naturaleza? Sí. En el árbol familiar de cualquier zángano de un panal. Éste nace del huevo no fertilizado de la reina, luego tiene una madre pero no tiene padre. Por el contrario, tanto la reina (la única que puede poner huevos) como las obreras nacen del huevo fertilizado por un macho. Tienen, por tanto, padre y madre. Teniendo esto en mente, el árbol familiar de un zángano queda como sigue: tiene 1 madre, 2 abuelos (macho y hembra), 3 bisabuelos (dos de la familia de la abuela y uno de la del abuelo), 5 tatarabuelos, 8 tataratatarabuelos… ¡El árbol genealógico del zángano es una sucesión de Fibonacci! Y no sólo eso: en 1966 Doug Yanega, del Museo de Investigación Entomológica de la Universidad de California, descubrió que la relación que existe entre abejas hembras y machos en una comunidad es cercana al número áureo.

Convirtamos ahora los números en cuadrados. Pongamos dos cuadrados de lado unidad uno junto a otro. Encima de ellos dibujemos otro de lado el doble. A la derecha, añadamos otro de lado el triple. Debajo, el correspondiente a 5 y así sucesivamente, de modo que cada nuevo cuadrado tenga de lado la suma de los dos cuadrados anteriores. Si ahora dibujamos un cuarto de circunferencia dentro de cada cuadrado (empezando por el primero) como en la fotografía del comienzo del reportaje, tendremos una espiral logarítmica. Que es, justamente, la que presenta la concha del Nautilus. Coja el lector un lápiz y trace una línea cualquiera que vaya desde el centro al exterior. Fíjese en dos puntos en los que esta línea corte a la concha, con la única condición de que la espiral haya dado una vuelta completa entre ambos. Comprobará que el más exterior está 1,618 veces más lejos del centro que el del interior. Esto quiere decir que el factor de crecimiento de la concha es el número áureo.

Los números de Fibonacci los encontramos en el número de espirales a la izquierda y a la derecha que podemos contar en las semillas de los girasoles y en las piñas de los pinos, en el número de pétalos de las flores (3 el iris, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 ó 85), en el número de flores en las espirales de la coliflor y del bróculi (cada uno de ellos es una diminuta coliflor en sí misma. Si cuenta las espirales en ambas direcciones que salen de esas miniflores, ¿qué número le sale? Busque números de Fibonacci en el plátano y en la manzana…) Incluso las hojas alrededor del tallo siguen este orden.

¿Por qué este gusto de la Naturaleza por la sucesión de Fibonacci? Hojas, pétalos y semillas se ordenan en las plantas siguiendo un ángulo fijo porque éste es el mejor sistema de empaquetamiento aunque la planta crezca. Si colocamos el número áureo de hojas por vuelta en el tallo obtenemos el mejor empaquetamiento para que reciban todas ellas el máximo de luz sin que unas se oculten a otras; en el caso de las flores, la mejor exposición paras atraer a los insectos polinizadores. Y los números de Fibonacci son la mejor aproximación que existe al número áureo.

Visto todo esto, no resulta sorprendente que el Partenón pueda enmarcarse en un rectángulo áureo –aquél que el cociente de su longitud por su altura sale el número áureo-. Igual sucede con las tarjetas de crédito. ¿Acaso hay algo más bello que una Visa sin límite de gasto?

La cuadratura del círculo y el número pi

5 enero 2011

Las matemáticas han sido campo abonado para los trabajos más fútiles. Uno de ellos es el conocido de la cuadratura del círculo, o lo que es lo mismo, intentar construir un cuadrado que tenga la misma área que un círculo.

Entre quienes intentaron resolver este problema insoluble estuvo el filósofo Thomas Hobbes, que estaba tan enamorado de la geometría que aplicó sus métodos a la filosofía política. Si se hubiera contentado con ser un aficionado más sus últimos años de vida hubieran sido más tranquilos de lo que fueron.

Creyéndose capaz de realizar grandes descubrimientos, con 64 años publicó el libro titulado Sobre los Cuerpos, donde aparecía un ingenioso método para cuadrar el círculo. En realidad era una buena aproximación, pero Hobbes creía que era absolutamente exacto. Un importante matemático de entonces, John Wallis, publicó un folleto enumerando los errores de Hobbes, lo que desencadenó uno de los debates más divertidos y estériles de la historia de las matemáticas.

Durante casi 15 años se lanzaron todo tipo de puyas y sarcasmos en una disputa que fue en parte mantenida por Wallis porque detestaba las ideas políticas y religiosas de Hobbes. Éste respondió al ataque de Wallis reeditando su libro con una addenda titulada Seis lecciones para profesores de matemáticas a lo que Wallis contraatacó con Castigo escolar impuesto al señor Hobbes por no dar debidamente sus lecciones. Hobbes replicó con Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje patán, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos de John Wallis, y Wallis devolvió el golpe con Puncto dispunctio o la refutación de los puntos del señor Hobbes.

Para darnos cuenta del tipo de lindezas que se proferían, veamos uno de los últimos ataques de Hobbes: “Todos vuestros escritos no son sino errores o sarcasmos; esto es, nauseabundos flatos, hedores de mulo viejo cinchado en exceso tras un hartazgo”.

No vamos a explicar los errores del filósofo, que Wallis denominaba “la curiosa incapacidad del señor de Hobbes de aprender lo que no sabe”. Simplemente mencionaremos que el culpable de la imposibilidad de construir un cuadrado y un círculo con la misma área es el número pi, el famoso 3,1416.

Claro que no acaba ahí, sino que tiene infinitos decimales. Pi es un número que los matemáticos llaman trascendente, esto es, que no se puede obtener como solución de una ecuación que contenga, además de la consabida incógnita, números positivos, negativos o fracciones –lo que se conoce como números racionales–. Por este motivo, el área de un cuadrado, que es lado por lado, nunca puede ser igual a la de un círculo, pi por el radio al cuadrado.

De este número el inglés del siglo XIX Augustus de Morgan escribió: “Este misterioso 3,1415927… que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por cualquier chimenea”. Es cierto. Aparece en multitud de lugares que nada tienen que ver con la circunferencia. Por ejemplo: si tomamos al azar dos números naturales –1, 2, 3, 4…–, ¿cuál es la probabilidad de que carezcan de divisores comunes, esto es, números que dividan a los dos de manera exacta? La respuesta, asombrosa, es 6 dividido por pi al cuadrado.

Pero para juegos numerológicos nada mejor que el del matemático suizo Leonhard Euler que descubrió la asombrosa relación que lleva su nombre, la identidad de Euler. En esta expresión se encuentran los cinco números más importantes de las matemáticas. Tres son bien conocidos, 1, 0 y pi. Los otros dos son la unidad imaginaria i (la raíz cuadrada de -1), y el número e, no tan famoso pero también muy importante.

Matemáticos… Humanos a fin de cuentas (II)

27 diciembre 2010

Es en este campo de la ciencia donde suelen florecer esos casos especiales del intelecto humano. El matemático Paul Hamos dijo en cierta ocasión que hay dos tipos de genios: los que son como todo el mundo, pero a un nivel mucho más alto, y los que parecen poseer un toque que va más allá de lo humano.

Uno de estos últimos fue el alemán Karl Friedrich Gauss, el más grande matemático de la historia. Nacido en 1777 en el seno de una familia muy pobre, era hijo de un albañil sin recursos económicos. Gracias a su diario sabemos que se dedicó a la investigación matemática desde los 16 años. En su tesis doctoral expuso la primera demostración rigurosa del teorema fundamental del álgebra, fue el iniciador de la teoría de números y afinó las ecuaciones que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol, lo que permitió calcular la órbita del asteroide Ceres, recién descubierto. Estadística, geometría, magnetismo fueran algunas de las ramas en las que hizo contribuciones fundamentales de este hombre cuyo sello era un árbol con pocos frutos bajo el lema, Pauca sed matura (pocos, pero maduros).

Otro ser a años-luz del resto de los mortales fue el húngaro John von Neumann (nacido Margittai Neumann János Lajos), “el hombre más inteligente del siglo XX”: con 6 años dividía mentalmente dos números de ocho cifras y bromeaba con su padre en griego clásico, y con 8 sabía cálculo y recitaba una página de la guía de teléfonos de Budapest entera, con sus nombres, apellidos y números de teléfono. Neumann tenía memoria fotográfica.
Quizá lo que más llame la atención a quienes piensan que los científicos son unos seres aburridos sea la profunda devoción de von Neumann a dar fantásticas fiestas, donde derrochaba encanto y era capaz de abrumar a sus interlocutores manteniendo una conversación en cuatro idiomas diferentes. Eso sí, seguía la tradición del genio distraído. En cierta ocasión salió de su casa de Princeton porque tenía una cita en Nueva York. A mitad de camino se detuvo y llamó a su mujer: “Oye, ¿para qué tengo que ir yo a Nueva York?”

Quien quisiera conocerle mejor se enfrentaba ante un muro impenetrable. Adicto al trabajo, no podía decirse que fuera una persona sensible: sus sentimientos, si los tuvo, los ocultó bajo toneladas de hielo. En Princeton se decía que Neumann era un semidiós que había hecho un estudio detallado de los seres humanos y los imitaba a la perfección. Claro que su elección fue la de un ser humano rico, pues gracias a su genio amasó una considerable fortuna. A este “semidiós” le encantaba la ropa cara, los chistes verdes, los buenos vinos, los coches rápidos, la comida mexicana y las mujeres.

Matemáticos… humanos a fin de cuentas (I)

16 diciembre 2010

Josiah Willard Gibbs era un callado y retraído profesor de Física Matemática de la Universidad de Yale y uno de los ejemplos más claros de cómo una mente brillantísima puede ir unida a una extraordinaria modestia. Fue siempre indiferente a la fama y sus aportaciones matemáticas, decisivas para la ciencia de la termodinámica, las publicó, semienterrándolas, en la desconocida revista Transactions of the Connecticut Academy. Cuentan que su impenitente silencio lo rompió durante una acalorada discusión de café acerca de qué disciplina, las lenguas clásicas, las lenguas modernas o la ciencia, entrenaba mejor a la mente. Gibbs, con su habitual parsimonia, se levantó y dijo: “Señores, las matemáticas son un lenguaje”. Y volvió a sentarse.

Ciertamente las matemáticas son un lenguaje universal y por eso los científicos pueden comunicarse entre sí aunque no comprendan el idioma con quien comparten su información. Pero lo más misterioso de todo es que son el único medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea. El lenguaje con el que se expresa la naturaleza es el de las matemáticas y quien quiera leer ese libro debe aprenderlas. No sabemos muy bien por qué esto es así. Es más, tampoco tenemos claro que la naturaleza “sepa” matemáticas.
Quien más se acercó a ese anhelo por entender cómo conocemos el mundo fue el brillante lógico Kurt Gödel, del que este año celebramos el aniversario de su nacimiento. Nacido en la actual Brno, en la República Checa –la ciudad donde Mendel descubrió las leyes de la genética–, es famoso por el llamado primer teorema de incompletitud: cualquier sistema lógico que se base en cierto número de afirmaciones que se aceptan sin demostrar (axiomas) es, por definición, incompleto. O sea, que habrá afirmaciones que no se podrán probar a partir de los axiomas del sistema. Este teorema causó un gran revuelo entre los matemáticos porque les dice que da igual lo mucho que se esfuercen por demostrarlo todo: es imposible.

Kurt Gödel, tímido, retraído y excéntrico, siempre vestía ropa de abrigo. Incluso en pleno verano llevaba su gabán abotonado hasta arriba y mantenía encendida una estufa eléctrica en su despacho. En invierno dejaba todas las ventanas de su casa abiertas, pues creía que intentaban asesinarle usando gas venenoso. Estaba obsesionado con la enfermedad pero no hacía ningún caso de las recomendaciones de sus médicos. Hacia el final de su vida creía que querían eliminarle envenenado su comida, por lo que sólo se alimentaba de lo que cocinaba su mujer; ni tan siquiera se fiaba de la que él mismo pudiera preparar. Y éste fue el motivo de su muerte. A finales de 1977 su mujer cayó gravemente enferma y dejó de cocinar. Gödel rehusó comer y murió de inanición el 14 de enero de 1978.

Su espíritu lógico quedó claro cuando pidió convertirse en ciudadano norteamericano. Como todo inmigrante, debía demostrar que poseía un conocimiento general de la Constitución y que, por supuesto, la aceptaba. Gödel estudió desde el punto de vista formal sus diferentes artículos y descubrió, para su horror, que dejaba un resquicio para la dictadura.

La víspera de la entrevista ante el juez se lo contó a su amigo Oskar Morgenstern, un matemático economista y co-creador de la teoría de juegos –que se usa, por ejemplo, para analizar las relaciones económicas y políticas entre países–. Morgenstern se horrorizó, no por el descubrimiento de Gödel, sino porque sabía que era capaz de decir cualquier tontería y jugarse la nacionalidad. Gödel necesitaba que dos ciudadanos americanos le avalaran: uno era Morgenstern y el otro era su gran amigo Albert Einstein, dos padrinos de lujo.

Ninguno las tenía todas consigo: temían que metiera la pata. Al día siguiente el juez quedó impresionado por la reputación pública de los padrinos de Gödel y rompió con la tradición invitándoles a sentarse mientras realizaba la entrevista. El juez dijo: “Hasta ahora usted ha tenido nacionalidad alemana”. Gödel, ligeramente ofendido, le comentó que era austriaco. El juez, sin perturbarse, continuó: “De todos modos, su país tuvo que sufrir una dictadura horrible… pero afortunadamente eso no puede suceder en América”. Era lo que Gödel necesitaba. Sin poderse contener gritó: “¡Todo lo contrario! ¡Yo sé cómo puede suceder y puedo probarlo!”. Calmarle y evitar que enunciara su demostración requirió de todo el buen hacer de Morgenstern, Einstein y el juez.

El trabajo de Gödel dio al traste con uno de los empeños intelectuales más intensos y prolongados del siglo XX: el de Nicolas Bourbaki. Algo llamativo, pues se trata de un matemático que nunca existió. Nacido en 1935, era el nombre de un grupo de jóvenes matemáticos franceses que veían la necesidad de renovar completamente el fundamento de su disciplina. Su anhelo era derivar toda afirmación matemática a partir de un reducido conjunto de afirmaciones, los axiomas, sin apelar para nada a la intuición o al sentido común.

Es curioso que ninguno de sus fundadores recordara exactamente de dónde salió el nombre. Lo único claro es que se refiere a un general francés, Charles Bourbaki, que murió en la guerra de independencia griega. Entre sus miembros se encontraba el gran Jean Dieudonné, el escribano del grupo y defensor público del trabajo de Bourbaki. Experto cocinero, gourmet y catador de vinos, dicen que era capaz de adivinar la cosecha por el olor del sacacorchos incluso antes de descorchar la botella.

Cerebro dividido

1 marzo 2010

En la década de los sesenta Mike Gazzaniga defendía su tesis doctoral en el famoso Caltech, el Instituto Tecnológico de California. Una tesis que iba a causar sensación entre neurólogos y psicólogos.

El tema de su trabajo de doctorado fue estudiar las consecuencias psicológicas de la cirugía de escisión cerebral, un procedimiento en el cual se cortan las conexiones nerviosas entre los dos hemisferios del cerebro. La razón a tan tremendo operación quirúrgica era un intento por controlar la epilepsia grave. Habían operado a un grupo de pacientes en Darmouth y el cirujano pidió a Gazzaniga que los estudiara. Sus descubrimientos fueron asombrosos.

Cuando se divide el cerebro deja de existir comunicación entre ambos hemisferios. Debido a que la funciones del lenguaje se localizan normalmente en el lado izquierdo, la persona sólo es capaz de hablar de cosas que ese lado conoce. Si a una persona con el cerebro dividido se le muestran estímulos que sólo ve el hemisferio derecho, no es capaz de describir lo que ha visto. Sin embargo, si al hemisferio derecho se le da la oportunidad de responder sin tener que hablar –por ejemplo, reconocerlo por el tacto con la mano izquierda- entonces sí es capaz de identificarlo.

Pero el caso más asombroso fue el de un paciente de finales de los años 30 conocido por las siglas P.S. Era un paciente especial porque podía leer palabras con ambos hemisferios, cosa que los demás eran incapaces de hacer. Sin embargo, y como el resto de los pacientes, sólo podía hablar a través de su hemisferio izquierdo. Cuando se le presentaban estímulos emocionales al hemisferio izquierdo, P.S. podía decir qué era el estímulo y cómo se sentía, si era algo malo o bueno. Cuando se presentaba el mismo estímulo emocional al hemisferio derecho, el habla del izquierdo era incapaz de decir lo que era. Sin embargo, sí podía juzgar correctamente si el estímulo visto por el derecho era malo o bueno. Así, ante la palabra “madre” P.S. lo calificaba como bueno y la palabra “diablo” como malo. Al parecer, los estímulos emocionales siguen un camino que la cirugía de escisión no corta.

El duelista y la teoria de grupos

2 octubre 2009

El 25 de octubre de 1811 nacía en Bourg-la-Reine, un pequeño pueblecito en las cercanías de París, Évariste Galois. Su padre era el alcalde del pueblo y tanto él como su madre tenían una sólida formación cultural que supieron transmitir a sus hijos, al igual que un profundo desprecio hacia cualquier forma de tiranía. Cuando Évariste comenzó a asistir a la escuela a la edad de doce años, demostró muy poco interés por el latín y el griego pero, en cambio, quedó prendado de la belleza de las matemáticas, sobretodo por el libro Geometría del gran matemático francés nacido en Turín Joseph-Louis Legendre. Galois, aunque estudió con fruición álgebra y análisis, su trabajo en clase de matemáticas fue siempre mediocre y sus maestros lo consideraban como alguien rarillo. A los 16 años Évariste ya sabía lo que sus maestros ignoraban: que era un genio en matemáticas. Convencido de ello esperaba entrar en la escuela donde se habían formado tantos matemáticos famosos, la prestigiosa Escuela Politécnica.

Primer deseo y primera decepción: su solicitud fue rechazada por carecer de formación sistemática. Un año más tarde, con 17 años, desarrolló en un artículo sus descubrimientos fundamentales. Se lo entregó a uno de los matemáticos más importantes de la época, Antoine-Louis Cauchy, cuya cabeza era tan brillante como despistada. Cauchy solía olvidar dónde dejaba los artículos que le entregaban pero para la época de Galois ya había pasado a convertirse en un especialista en perder artículos. Galois, que se lo había enviado a Cauchy para que lo presentara en su nombre en la Academia de Ciencias, tenía ahora motivos para detestar no sólo a los profesores sino también a los académicos. Si a todo esto sumamos un nuevo fracaso en su segundo intento de ingresar en la Escuela Politécnica y que su padre, acorralado por culpa de una serie de intrigas clericales, se suicidó, no resulta extraño que Évariste se sintiera hundido y miserable.

A pesar de tantos reveses Galois siguió insistiendo y al final pudo entrar en la Escuela Normal y así poder prepararse para la enseñanza. Y en sus pocas horas libres, siguió investigando. En 1830 presentó un trabajo para optar al premio en matemáticas concedido por la Academia. El artículo no pasó por las manos de Cauchy sino por las de otro matemático insigne, Fourier. Galois podía respirar tranquilo. Fourier se llevó el trabajo a su casa para poder leerlo con detenimiento y la mala fortuna volvió a cebarse con el pobre Évariste. Fourier murió poco después y su trabajo se perdió irremisiblemente.

En 1830 afloró su hondo sentimiento contra la tiranía y se puso de parte de los revolucionarios. Una durísima carta contra el director de la Escuela le valió su expulsión. Por tercera vez presentó un trabajo a la Academia y, cumpliendo el refrán, esta vez no se perdió. El artículo contenía lo que hoy se conoce como teoría de Galois pero el encargado de valorarlo, otro matemático insigne de nombre Poisson, se lo devolvió con una anotación: «incomprensible».

Galois, asqueado, se apuntó en la Guardia Nacional. En 1831, durante una reunión, hizo un brindis que se consideró como una amenaza a la vida del emperador y fue arrestado. Aunque fue liberado, nueve meses más tarde le volvieron a arrestar y esta vez dio con sus huesos en la cárcel. Poco tiempo después se vio envuelto en un asunto de faldas poco claro que terminó en un duelo. La noche anterior al mismo escribió a sus amigos: «He sido desafiado por dos patriotas; no he podido negarme».

Las pocas horas que le quedaban hasta el amanecer las dedicó a poner por escrito algunos de sus descubrimientos con la esperanza de que fueran publicados y que otros matemáticos pudieran evaluar su importancia. Y en la madrugada del 30 de mayo de 1832 Galois se enfrentó en un duelo a pistola. Recibió un balazo que le perforó los intestinos y quedó tirado en el campo hasta que un campesino que pasaba por allí lo recogió y lo llevó a un hospital. Galois murió de peritonitis a la mañana siguiente. Tenía sólo 20 años.

“La física podría ayudarnos a entender la conciencia”. Entrevista a Roger Penrose

14 julio 2009

He rescatado de mis archivos esta entrevista que hice a Penrose en 2000 y publicada en Muy Interesante. Creo que todavía merece la pena ser leída.

Roger Penrose nació el 8 de agosto de 1931 en Colchester, en el condado de Essex (Reino Unido). Conocido por sus posturas un tanto heterodoxas dentro del campo de la física teórica, es Rouse Ball Professor (catedrático) del Instituto Matemático de la Universidad de Oxford y autor de numerosos best-sellers de divulgación, entre los que destacan Lo pequeño, lo grande y la mente humana, La nueva mente del emperador y Sombras de la mente (Y en 2006 El camino a la realidad, un personalísimo -y complicadísimo- recorrido por la física teórica).

Él es, junto al también británico Stephen Hawking, uno de los físicos teóricos más imaginativos de nuestro tiempo. Sus trabajos a finales de los 60 y principios de los 70 sobre lo que ocurre en el interior de los agujeros negros, las llamadas singularidades, marcaron el camino a seguir en un momento en que estos extraños cuerpos celestes eran tenidos como engorrosas veleidades de una teoría de difícil confirmación experimental. Desde hace treinta años, Penrose está ocupado en desarrollar una teoría tremendamente abstracta: la teoría de los twistors. Todo ello forma parte de un profundo interés personal por descubrir una nueva formulación en la física que una el mundo de lo muy pequeño con el de lo muy grande.

– ¿Por qué, en sus primeros años de estudio, escogió las matemáticas como su profesión del futuro? ¿Fue algo así como una pasión de juventud?
– En realidad fue un conjunto de pasiones. Mi gusto por hacer matemáticas muy probablemente venga de mi padre, que también era científico, aunque ejercía en el campo de la biología. Investigaba en genética humana pero le encantaban las matemáticas: juegos, pasatiempos… todo aquello que tuviera un cierto sabor a número.

– Me imagino, entonces, que su padre estaría muy contento de tener un hijo matemático en la familia, ¿no?
– Bueno, no mucho. Se suponía que yo tenía que ser médico. Mis padres lo eran y consideraban que de los tres hermanos yo era el que estaba destinado a continuar: tenía que ser el médico de la familia. Cuando tenía 16 años fui a ver al director de la escuela para que me orientara sobre lo que podía estudiar. A mí me gustaban la química, la biología y las matemáticas. Pero no podía estudiar biología y matemáticas; tenía que elegir. En aquel tiempo no quería perder de vista las matemáticas, así que al volver a casa les dije a mis padres que no quería ser médico. Fue una especie de shock para ellos.
– Pero es evidente que al final les convenció.
– Ya me costó, ya. Mi padre pensaba que no era una materia que debían estudiar aquellos que podían hacer otras cosas. Si puedes hacer matemáticas está bien, pero si puedes estudiar otras cosas, mejor. Fue difícil convencerle de que podía dedicarme a las matemáticas, y lo hice.
– En cualquier caso, en un momento determinado de su carrera decide dar el gran salto a la física y hoy usted es calificado como uno de los físicos teóricos más profundos de nuestro tiempo. ¿A qué se debió este cambio de actitud?
– Todo sucedió cuando marché a la Universidad de Cambridge. Allí empecé a interesarme por la física gracias a la influencia de unos cuantos científicos: Paul Dirac, cuyas clases de mecánica cuántica eran maravillosas; Hermann Bondi, un verdadero experto en cosmología y teoría general de la relatividad…
– Quien realmente fue su mentor fue el también cosmólogo Dennis Sciama…
– Cierto. Nos hicimos amigos íntimos. Sciama tenía un amplísimo interés en ciencia y me persuadió para dedicarme a la física. Así que habiendo hecho un doctorado en matemáticas puras empecé a investigar en física, sobre todo en el campo de la mecánica cuántica, que estudia el comportamiento de los átomos y las partículas subatómicas, y en la relatividad general, que se ocupa de la estructura del universo a gran escala.
– ¿Por qué precisamente se centró en estos dos terrenos tan complejos?
– Porque son dos de las cuatro grandes teorías de la física de este siglo. Las otras dos son la relatividad especial, cuyo objetivo es el estudio de los objetos que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz, y la teoría cuántica de campos, que tiene a la relatividad especial y a la mecánica cuántica como ingredientes.
– Usted saltó a la primera línea de la física teórica al estudiar la formación de singularidades en el universo. De hecho, en 1965 ya había encontrado las condiciones para que una masa colapse formando un agujero negro. ¿Cómo podría explicar lo que es una singularidad?
– En esencia, una singularidad es una gran catástrofe en la estructura del espacio-tiempo. Tengamos en cuenta que un agujero negro se forma porque, esencialmente, una estrella muy masiva empieza a colapsar gravitacionalmente y no hay nada que la detenga. Al final, toda la materia se destruye. Y no sólo eso, también el propio espacio-tiempo encuentra su final.
– ¿Podríamos decir que es como si el espacio-tiempo se rompiera?
– Así es.
– ¿Y no existe forma natural de evitarlo?
– No. Los astrofísicos han mantenido durante muchos años que este comportamiento tan singular era resultado de algún tipo de artificio, que en el mundo real la materia en colapso podía escapar a ese tremendo destino. Sin embargo, no es así. Stephen Hawking y yo demostramos de la -manera más general que las singularidades del espacio-tiempo son inevitables en situaciones de colapso gravitatorio.
– Luego queda demostrado que los agujeros negros existen realmente…
– Tenga en cuenta que hablo de colapso gravitatorio. Ahora bien, hay que ver si ese tipo de cosas suceden en el universo. Hace unos años, la existencia de los agujeros negros era objeto de debate y era algo que no estaba muy claro. Pero hoy no podemos dudar de su existencia, pues nuestras observaciones astronómicas nos muestran objetos muy masivos e invisibles que absorben materia de su estrella compañera. Debido a esto, la materia al ir cayendo al interior del agujero negro libera energía, en forma de rayos X por ejemplo, y gracias a ella podemos darnos cuenta de lo que pasa.
– Recuerdo que dos grandes expertos en relatividad general como Hawking y el norteamericano Kip Thorne hicieron una apuesta acerca de si la fuente de rayos X Cignus X-1 era o no un agujero negro.
– Cierto. Hawking dijo que no y Thorne que sí. Si ganaba Hawking, Thorne le pagaba un año de suscripción a la revista Penthouse, y si ganaba Thorne, Hawking le pagaba cuatro años de suscripción a Private Eye. No sé cómo habrá quedado todo…
– Recientemente se ha publicado en castellano un libro suyo, Lo pequeño, lo grande y la mente humana, donde defiende que nuestro universo es abierto, esto es, que su expansión no se detendrá nunca. Ésta es una teoría que sostienen también otros muchos cosmólogos y dan para ello diferentes explicaciones. ¿Qué razones tiene usted para afirmarlo?
– La verdad es que mis razones no son muy científicas y son difíciles de explicar para un público general. Tienen que ver con mi interés por encontrar una reformulación de la física.
– ¿Cómo?
– La física hoy se enfrenta a un importante reto. Tenemos dos grandes teorías, la mecánica cuántica, que explica el comportamiento de la naturaleza a niveles microscópicos, y la relatividad general, que es una teoría de la gravitación y trata de objetos grandes. Sin embargo, no hay ninguna teoría que las una, no hay una teoría satisfactoria de la gravedad cuántica.
– ¿Cuál es su camino?
– Mi propuesta involucra los números complejos. Es producto de mi formación matemática si se quiere decir así. Me he dado cuenta de que son unos números hermosos, que dan un entendimiento profundo del funcionamiento del mundo. De hecho, la física parece estar fundamentada en los números complejos. La mecánica cuántica, por ejemplo, está basada en estos números, y para describir la estructura del espacio-tiempo también se tiene que echar mano del campo de ellos. Imagine que estamos en el espacio y miramos al cielo: lo vemos como una esfera. Si consideramos a diferentes personas moviéndose a altas velocidades en diferentes direcciones y mirando el mismo cielo, cada observador lo verá distorsionado respecto al de los otros. A este fenómeno se le conoce como aberración estelar. Pues bien, hay una manera muy elegante de entender esto a través del campo de los números complejos y el infinito. Es el punto de comienzo básico en mi teoría de los twistors, que pretende tender un puente entre la cuántica y la relatividad general.
–¿Qué consecuencias tendría la confirmación de su teoría sobre nuestros modelos del universo?
–  Si la filosofía general de los twistors es cierta, esto es, que los números complejos no sólo están bajo la piel de la mecánica cuántica sino también bajo la estructura del espacio-tiempo en que vivimos, entonces el universo debe ser abierto. Como puede ver, no es una razón científica que digamos, en el sentido de estar apoyada por observaciones; es más bien estética. Responde a la filosofía en la que los números complejos son fundamentales para la física.
– De igual modo parece ser que, según ha dejado claro en sus libros La nueva mente del emperador, todo un best-seller internacional, y Las sombras de la mente, necesitamos de esa nueva física para comprender la conciencia.
– Así es. Mis investigaciones van en este sentido. De hecho, mi postura es contraria a la inteligencia artificial, a que con los conocimientos de hoy en día podamos diseñar máquinas que puedan pensar. Creo que la inteligencia no puede simularse mediante procesos algorítmicos, es decir, mediante un ordenador, en el sentido que hoy utilizamos el término, claro. Debe haber un ingrediente distinto, no-algorítmico, en la forma de actuar de la conciencia. La inteligencia no es similar a un programa de ordenador.
– ¿Cómo derivó del estudio de las singularidades al de la conciencia?
– En realidad, el problema de la conciencia no es algo que se me ocurriese de repente, como un flash que tienes al afeitarte por las mañanas. El problema de la conciencia es algo que me preocupaba desde hacía mucho tiempo. Tengo la sensación de que la nueva teoría que unifique la física de lo muy grande con la de lo muy pequeño tendrá mucho que decir sobre el tema de la conciencia. Necesitamos de una nueva formulación de la física para entenderla.
– Como ocurre con otros muchos físicos, parece que su idea motora a la hora de plantear nuevas teorías es la belleza de las matemáticas…
– Cierto, y es un camino que debe recorrerse con cuidado. Pero no crea que soy el único. Un buen ejemplo es la teoría de las cuerdas, eso que se supone que se encuentra detrás de los electrones, protones y quarks. También está guiada por consideraciones matemáticas.
– ¿Qué problema tienen las matemáticas que resulta tan difícil apreciar su belleza?
– Y eso que muchas de las bellezas matemáticas no son difíciles de ver. Sospecho que el problema está en la forma de enseñarlas. Creo que divulgando la ciencia se ayuda a transmitir esa belleza. Los científicos debemos ser capaces de transmitir la excitación que supone la investigación científica.
– Por cierto, hay un detalle que denota su pasión por las matemáticas. En las notas al lector de su libro en inglés Sombras de la mente, da una fórmula para encontrar las referencias a las páginas de su libro anterior, La nueva mente del emperador.
– Es verdad. En la edición de tapas blandas que hizo Vintage, la numeración de las páginas difiere de la edición en tapas duras. Como yo me refería a la edición de tapas duras, tenía que ofrecer alguna pista para que el lector pudiera encontrar las referencias en la edición de Vintage. Puede parecer una broma pero no lo es si quieres encontrar lo que cito en mi libro.
– Una última pregunta. ¿Es cierto que un hijo suyo tuvo hace unos años una novia española, zaragozana para más señas?
– Ja, ja, ja. Sí, es verdad. Solía ir de vez en cuando a Zaragoza. Pero al final no funcionó.

Geometría por todos lados

14 julio 2009

Los antiguos egipcios veían la Tierra con forma de huevo, protegido por la noche por la Luna, un gran pájaro blanco que, como las ocas, empollan su huevo. Homero entendía nuestro planeta como un disco redondo rodeado por el río Océano, algo que le hacía mucha gracia a Heródoto, que consideraba evidente pensar que estaba rodeado por un desierto. Para Esquilo nuestro planeta era un bien proporcionado paralelogramo. Por el contrario, los aztecas creían que vivíamos en un cuadrado. De hecho, el universo entero se reducía a cinco cuadrados, uno central y los otros cuatro en cada uno de sus lados conteniendo los cuatro puntos cardinales. Para otros pueblos el universo era una rueda, o incluso un tetraedro.

Discos, huevos, cuadrados… Todas ellas son formas, y el estudio de las formas corresponde a la geometría —del griego, medición de la tierra—. Además de la aritmética, el arte de sumar y restar, posiblemente no haya una rama de las matemáticas más cercana a la realidad que percibimos.

La geometría se encuentra a nuestro alrededor: desde la concha del Nautilus pompilius al rosetón de la portada de la catedral de Chartres, desde las parcelas y cortinas de cultivo de un pueblo de la meseta castellana hasta el cristal de sal común. Sin ella resulta imposible establecer algo tan simple y, a la vez, tan necesario como es la extensión de una tierra de cultivo. Simplemente imaginemos lo complicado que puede convertirse la compra de una parcela rectangular a tantas pesetas la yugada, sabiendo que la yugada no es otra cosa que la tierra arada por una pareja de bueyes desde que sale el sol hasta el ocaso. Hoy muy pocos confiaríamos en una medición tan poco precisa. Mal que nos pese, echaremos mano de la geometría que nos enseñaron en la escuela y multiplicaríamos el largo por el ancho.

La Geometría —con g mayúscula— nació hace 2.300 años en la entonces próspera y floreciente ciudad de Alejandría. La dinastía macedonia de los Ptolomeos habían fundado un templo a las Musas, el Museo, famoso por su biblioteca compuesta por miles de pergaminos traídos de todas partes. Fue allí donde Euclides escribió uno de los libros más importantes de la historia: Elementos de Geometría. El libro es fundamental por dos motivos: uno, porque recopilaba todo lo que hasta entonces se sabía de geometría; dos, porque lo hizo de una manera que quedaría por siempre como método de trabajo en las matemáticas: a partir de unos pocos postulados que se aceptan sin demostración porque resultan evidentes, se deducen todas las consecuencias, teoremas, posibles. Euclides partió de cinco postulados y con ellos construyó la Geometría.

Elementos se convirtió en el libro de texto básico para cualquier matemático de los siglos venideros; un libro que fascinó y enamoró a muchos. Entre ellos se encontraba el filósofo británico Thomas Hobbes, cuando a sus 40 años ojeó por primera vez el libro de Euclides y al llegar al teorema de Pitágoras exclamó: «¡Por Dios! ¡Esto es imposible!» Tras volver hacia atrás y rehacer paso a paso la demostración se convenció, y desde entonces su pasión por ella fue tal que aplicó los métodos de la geometría a su filosofía política.

Y aun hoy el mundo seguiría siendo euclidiano si no fuera por el quinto postulado de Euclides, también conocido como el postulado de las paralelas, que en su versión moderna, dada por el matemático John Playfair en 1795, dice: Dada una recta y un punto que no pertenece a la recta, sólo se puede trazar una línea paralela a la primera que pase por ese punto. Este quinto postulado no era del gusto de Euclides, que en su libro intentó utilizarlo lo menos posible. Durante mucho tiempo los matemáticos buscaron afanosamente la forma de demostrar que ese quinto postulado podía deducirse de los otros cuatro, pero buscaron en vano a pesar de que en diferentes ocasiones se creyó haber encontrado la prueba. Tuvimos que esperar al tardío año de 1817 para que uno de los matemáticos más brillantes de la historia, Karl Friedrich Gauss, se convenciera de que este postulado era independiente de los otros cuatro. De hecho, descubrió que si lo negaba, si permitía trazar más de una paralela a una recta por un punto dado, obtenía una geometría totalmente consistente. Pero el brillante y nada polemista Gauss no se atrevió a publicar sus resultados. Las ideas del filósofo Inmanuel Kant dominaban el pensamiento de la época: «la geometría euclidiana es la necesidad inevitable del pensamiento» había dicho. Y, al igual que había sucedido en la Edad Media con Aristóteles, no se podía contradecir al filósofo.

Lo que sí hizo fue comentárselo a su amigo matemático Farkas Bolyai, que a su vez instruyó a su hijo János en el arte de las matemáticas pero advirtiéndole: «No pierdas ni una hora de tu tiempo en el problema del quinto postulado». Como buen hijo no hizo caso a su padre. El trabajo de János sobre geometría creó un nuevo mundo y Gauss lo calificó como al joven geómetra como «un genio de primer orden». Seis años más tarde, en 1829, un ruso llamado Nicolai Ivanovich Lobachevsky publicaba un trabajo sobre esta nueva geometría en una oscura revista de la universidad local. Pero su intento de hacerlo llegar a un público más amplio fue ahogado por uno de los popes de las matemáticas rusas, Ostrogradski.

Este mismo fantasma persiguió a una de las mentes más originales de las matemáticas: Georg F. B. Riemann. Discípulo de Gauss, su conferencia impartida el 10 de junio de 1854 para obtener su habilitación, el grado que le permitía ser profesor en una universidad alemana, es recordada como un clásico de las matemáticas. Su título: Sobre las hipótesis que fundamentan la geometría. Un trabajo que no será comprendido hasta 60 años después. Porque, ¿quién podía imaginar que oculto tras el quinto postulado de Euclides se encontrase el mismo universo?

Noviembre de 1915. Albert Einstein lanza al mundo su obra maestra, producto exclusivo de una mente prodigiosa: la teoría general de la relatividad. Con ella pudimos comprender no sólo cómo actuaba la gravedad, sino qué era. La presentó en la Academia de Ciencias Prusiana, hecho que en adelante recordaría como el momento más dichoso de su vida. Hasta entonces, la gravedad era entendida como el genial Isaac Newton la había formulado en su celebérrimo Principios Matemáticos de la Filosofía Natural: una fuerza de acción a distancia e instantánea. De hecho, Newton nunca trató de explicar lo que era la gravedad, sino de dar una descripción matemática de cómo actuaba. Fue en el curso de las tres famosas lecciones dictadas por Einstein cuando se hizo la luz. En ellas, dio a conocer una teoría que conectaba la geometría del espacio con la materia presente en él. Quizá la frase que resuma mejor la teoría einsteniana es la que aparece en el clásico libro Gravitation de los físicos Wheeler, Thorne y Misner: «El espacio dice a la materia cómo debe moverse; la materia dice al espacio cómo debe curvarse».

Para visualizar el funcionamiento de la gravedad imaginemos una cama elástica como representación bidimensional del espacio-tiempo en que vivimos. Si no hay nada encima de ella (materia), su forma (geometría) es totalmente plana, sin deformaciones. Supongamos que colocamos en el centro una esfera de hierro maciza (una estrella). La superficie elástica va a deformarse debido a la presencia de masa. Si arrojamos una canica (una sonda espacial, un rayo de luz) hacia ella, veremos que seguirá la pendiente cayendo hacia ella o, si llega algo desviada, describirá una trayectoria curva a su alrededor; estará orbitando en torno a la masa central. Ésta es la idea básica de la relatividad general: el valor de la curvatura en un punto del espacio es una medida de la gravedad existente en dicho punto. Y a mayor densidad del objeto, mayor curvatura y, por tanto, mayor gravedad. Y no sólo eso. La misma estructura del universo, su forma, depende de la materia que contiene.

Un genio en una familia de genios

15 diciembre 2008

Uno de los personajes más curiosos de la historia de las matemáticas ha sido el suizo Jean Bernoulli, hijo, hermano, abuelo, bisabuelo y tatarabuelo de eminentes matemáticos. Su brillantez intelectual le llevó a ocupar la cátedra de matemáticas que su hermano dejó en Basilea al morir.

Jean Bernoulli era un hombre con una alarmante falta de tacto. Por culpa de ello en más de una ocasión tuvo agrias disputas con su hermano. Además tenía un carácter irascible. Cuando el inglés Newton y el alemán Leibniz discutían sobre quién era el padre del cálculo diferencial -una discusión que se convirtió en una pelea nacionalista: los de las islas contra los del continente-, Bernoulli tomó partido por Leibniz y atacó a Newton con fiereza. De hecho, algunos historiadores de las matemáticas lo llaman el bulldog de Leibniz, pues hizo por la causa del matemático alemán lo que años después haría Huxley por la teoría de la evolución de Darwin y por lo que se ganó ese sobrenombre.

Por si todo esto no fuera poco, Jean Bernoulli era también tremendamente celoso. Su hijo Daniel, otra mente admirable, se presentó a un premio de matemáticas que concedía la Academia de Ciencias de París. A ese mismo premio optaba su padre. La Academia premió a Daniel y su padre lo echó de casa. Peso a todo, Jean era un excelente maestro y un investigador infatigable.

Jean tuvo, además de Daniel, dos hijos más: Nicolaus III y Jean II. Quizá resulte tan curioso que los Bernoulli, además de ser una familia con seis generaciones de matemáticos y demostraran una imaginación desbordante a la hora de demostrar teoremas, no hicieran lo propio cuando había que bautizar a sus hijos: en la familia hay cuatro Nicolaus, tres Jean, dos Jacques y dos Daniel. Pues bien, como decía, los hermanos Daniel, Nicolaus y Jean fueron profesores de matemáticas en diferentes universidades: en San Petersburgo estuvieron Nicolaus y Daniel, y en Basilea, Daniel y Jean. Y tenían un primo, también llamado Nicolaus, que ocupó la cátedra de matemáticas de Padua en Italia, la misma que tiempo atrás ocupara Galileo.

Y aunque aún hubo otros Bernoulli que alcanzaron cierta fama en matemáticas, ninguno brilló con luz tan brillante como sus antecesores.


Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

Únete a otros 2.835 seguidores

%d personas les gusta esto: