La cuadratura del círculo y el número pi

Las matemáticas han sido campo abonado para los trabajos más fútiles. Uno de ellos es el conocido de la cuadratura del círculo, o lo que es lo mismo, intentar construir un cuadrado que tenga la misma área que un círculo.

Entre quienes intentaron resolver este problema insoluble estuvo el filósofo Thomas Hobbes, que estaba tan enamorado de la geometría que aplicó sus métodos a la filosofía política. Si se hubiera contentado con ser un aficionado más sus últimos años de vida hubieran sido más tranquilos de lo que fueron.

Creyéndose capaz de realizar grandes descubrimientos, con 64 años publicó el libro titulado Sobre los Cuerpos, donde aparecía un ingenioso método para cuadrar el círculo. En realidad era una buena aproximación, pero Hobbes creía que era absolutamente exacto. Un importante matemático de entonces, John Wallis, publicó un folleto enumerando los errores de Hobbes, lo que desencadenó uno de los debates más divertidos y estériles de la historia de las matemáticas.

Durante casi 15 años se lanzaron todo tipo de puyas y sarcasmos en una disputa que fue en parte mantenida por Wallis porque detestaba las ideas políticas y religiosas de Hobbes. Éste respondió al ataque de Wallis reeditando su libro con una addenda titulada Seis lecciones para profesores de matemáticas a lo que Wallis contraatacó con Castigo escolar impuesto al señor Hobbes por no dar debidamente sus lecciones. Hobbes replicó con Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje patán, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos de John Wallis, y Wallis devolvió el golpe con Puncto dispunctio o la refutación de los puntos del señor Hobbes.

Para darnos cuenta del tipo de lindezas que se proferían, veamos uno de los últimos ataques de Hobbes: “Todos vuestros escritos no son sino errores o sarcasmos; esto es, nauseabundos flatos, hedores de mulo viejo cinchado en exceso tras un hartazgo”.

No vamos a explicar los errores del filósofo, que Wallis denominaba “la curiosa incapacidad del señor de Hobbes de aprender lo que no sabe”. Simplemente mencionaremos que el culpable de la imposibilidad de construir un cuadrado y un círculo con la misma área es el número pi, el famoso 3,1416.

Claro que no acaba ahí, sino que tiene infinitos decimales. Pi es un número que los matemáticos llaman trascendente, esto es, que no se puede obtener como solución de una ecuación que contenga, además de la consabida incógnita, números positivos, negativos o fracciones –lo que se conoce como números racionales–. Por este motivo, el área de un cuadrado, que es lado por lado, nunca puede ser igual a la de un círculo, pi por el radio al cuadrado.

De este número el inglés del siglo XIX Augustus de Morgan escribió: “Este misterioso 3,1415927… que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por cualquier chimenea”. Es cierto. Aparece en multitud de lugares que nada tienen que ver con la circunferencia. Por ejemplo: si tomamos al azar dos números naturales –1, 2, 3, 4…–, ¿cuál es la probabilidad de que carezcan de divisores comunes, esto es, números que dividan a los dos de manera exacta? La respuesta, asombrosa, es 6 dividido por pi al cuadrado.

Pero para juegos numerológicos nada mejor que el del matemático suizo Leonhard Euler que descubrió la asombrosa relación que lleva su nombre, la identidad de Euler. En esta expresión se encuentran los cinco números más importantes de las matemáticas. Tres son bien conocidos, 1, 0 y pi. Los otros dos son la unidad imaginaria i (la raíz cuadrada de -1), y el número e, no tan famoso pero también muy importante.

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27 comentarios en “La cuadratura del círculo y el número pi”


  1. [...] La cuadratura del círculo y el número pi masabadell.wordpress.com/2011/01/05/la-cuadratura-del-cir…  por unikoke hace 3 segundos [...]

  2. almar Says:

    una pequeña puntualización: un cuadrado y un círculo sí pueden tener el mismo área, lo que no se puede es, partiendo de un círculo y utilizando sólo regla y compás, conseguir un cuadrado con su misma área.


  3. Me ha gustado mucho la historia de Hobbes, ya que no la conocía. Su batalla dialéctica me recuerda a las mantenidas por Góngora y Quevedo (a otros niveles, por supuesto), entre las que destaca el famoso soneto “Érase un hombre a una nariz pegado”. También me ha sorprendido la curiosa relación entre la probabilidad de la carencia de divisores comunes y el número pi.
    Por otro lado, creo que la cuadratura del círculo sigue sin ser resuelto, ¿no?.
    Te dejo un artículo relacionado con los números de los que hablas (con toques de humor), al que le sigue un comentario muy bueno sobre otro matemático: Galois.

    http://nadamasquelaverdad.wordpress.com/2010/10/28/la-verdad-sobre-los-numeros-extranos/

    Enhorabuena por el blog y saludos!
    La verdad nos hará libres.

    • Sergio Hdez. Says:

      Hola, preguntas si la cuadratura del circulo se ha resuelto ya: No, es imposible.

      No es un reto del milenio ni nada similar, es un tema 100% cerrado: No se puede construir, usando solo regla (sin marcas) y compas, un cuadrado del mismo arera que un circulo dado (ni a la inversa, por cierto).

      Tu nota habla de un tal Galois… ese fue el “culpable” de cerrar la discusion: Si puedes construir un número (lease PI, raiz de PI, PI/2, etc) usando regla y compas a partir de cantidades conocidas, entonces ese número ha de ser una raiz de un polinomio que use como coeficientes los enteros mas las cantidades que ya conociamos.

      Como aqui tenemos solo cantidades enteras (por ejemplo, un cuadrado de longitud 1) y queremos llegar a PI (o PI/2, o raiz de PI, lo mismo da), aplicando Galois, eso querria decir que PI tendrias que ser raiz de un polinomio con coeficientes enteros.

      Pero, por otro lado mas algegraico, se demuestra (facilmente y de varias formas) que PI es transcendente (no es raiz de nigún polinomio), por lo que la construccion que se pretende es IMPOSIBLE (reducción al absurdo: Si fuese posible, seria raiz de un polinomio, y no sería transcendente… pero lo es).

      Espero no haber aburrido mucho ni metido muchas patas, hace tiempo que estudie todo esto!


      • Blurp!!
        Pues creo que no has metido ninguna pata. Bien explicado y mensaje recibido…
        Ya quedan pocos problemas sin resolver, ¡tendré que darme prisa!
        Gracias por responder y saludos.
        La verdad nos hará libres.

  4. corbur Says:

    Bueno, voy breve, pero exijo M.A.S. respuestas :)

    1. Este artículo está bien (observando múltiples aspectos).

    2. … resolver este problema insoluble estuvo el filósofo Thomas Hobbes, … ¿Qué significa está frase?, ¿que no se puede solucionar la cuestión de si es o no cuadrable, ó que no se puede cuadrar el círculo?

    3. ¿Qué narices -con cariño :) – dice “almar”, sobre que un cuadrado y un círculo sí que pueden tener el mismo área?

    Ciao.

    • Sergio Hdez. Says:

      Intenrare responder yo:

      2) El problema es irresoluble (imposible en los terminos que se presenta), pero muchos lo han intentado y creyeron haberlo resuelto (no tenian preparacion matematica suficiente para saber que era imposible, pero lo era).

      3) Es posible tener un circulo con la misma area que un cuadrado usando más herramientas que una regla y un compas (el azar, por ejemplo), por supuesto que lo es… bueno, si se quiere un circulo “real” de papel con una superficie “exacta” a las de un cuadrado tambien de papel, entonces es tan fácil o dificil como tener dos cuadrados con la misma área… algún átomo de más o de menos siempre va a tener alguno!

  5. Ferc Says:

    Es evidente que un cuadrado y un círculo pueden tener el mismo área. Imagínese, por ejemplo, un cuadrado inscrito en el círculo, que se expande hasta quedar circunscrito. Hay un momento en que las áreas son iguales. Otra cosa es su representación, como bien dice Almar.
    Saludos

    • ChaquetaNegra Says:

      Señores:
      Para que un cuadrado tenga el mismo área que un círculo, habría que poderle hacer una raíz cuadrada al número pi, y eso es imposible.
      Muy bueno el artículo.
      Saludos!

      • Sergio Hdez. Says:

        Yo puedo tener un circulo y un cuadrado que, por construccion, tenga la misma area (imagina que son galletas hechas con la misma cantidad de masa y el mismo grosor, una cuadrada y otra circular, pues tendrian la misma area) y eso no implica que sepa o no sepa calcular la raiz de PI.

        Te pongo un ejemplo: Dibuja un circulo como quieras, traza su diametro, y define la unidad de longitud como ese diametro… acabas de conseguir una figura de PI de área, y no has necesitado calcular PI ni sus decimales ni nada de nada… solo necesitaste un papel, una hilo y un lapiz atado al hilo!

        Para que uhn circulo tenga la misma area que un cuadrado solo es necesario una cosa: que sus areas coincidan (perdón por el perogruyo, pero es que es así).

  6. Luis Says:

    Almar, tienes toda la razón (de hecho iba a hacer tu mismo comentario).

    ChaquetaNegra, *hacer* la raíz cuadrada a pi será posible o no dependiendo de tu concepto de “posible”… pero en todo caso pi *tiene* raíz cuadrada (igual que tiene cuadrado o logaritmo).

  7. corbur Says:

    1. Ver de nuevo el artículo, tranquilamente.
    2. Vamos a ver si M.A.S. nos explica, con más claridad, que es lo que se puede, lo que no se puede, lo que no se sabe, etc., con ejemplos.
    PERO AQUÍ VA LLEGANDO LO QUE SUPONDRÍA LA VERDADERA COMPRENSIÓN DE LO QUE ES IMPOSIBLE O NO, EN ESTE PROBLEMA. ¿Se puede representar una línea de largura pi?, ¿no se puede representar o sí, la citada cuadratura? (una vez dicho que no se puede calcular el trasvase de círculo a cuadrado). ¿Acaso se puede representar, digamos, cuánticamente, o realmente en una representación o construcción real terrestre?, …
    3. Animar a la gente a no soltar el problema, a ser rigurosos a partir de ahora, a profundizar en esta delicia, que nos abrirá conocimientos genéricos, a tener cuidado con lo que se dice, a no hablar sin perfección, sobre todo en Matemáticas -pero en todos los campos, en realidad-, con lo que, hagamos sólo preguntas, pero ¡ojo!, también preguntas exactas y reflexionadas: eso es, hay que intentar ser catedrático para poder preguntar siquiera (para afirmar seguramente no vale ninguno de los humanos); sólo cabe sospechar, indagar, maravillarse. Generemos desde ahora, desde el estudio de este problema, desde su comprensión, un grupo abierto y activo, de gente con sentido común, alegre y pasmada ante la profundidad del vacío estelar y del posible conocimiento humano.
    4. Ya sabéis, el asunto no es este problema, sino que consigamos entendernos, que sepamos que, aun llegando a alguna conclusión intermedia, no habremos conseguido nada, que no se trata de imponerse al otro, sino de ayudarnos a comprender, a despejar las ramas e ir avanzando. Y no quiero volver a ver que nadie habla por hablar, y suelta frases aseguradas, que luego resultan ser falsas. Vamos a pasarlo bien, gente, no soltéis esta senda, suscribios a los e-mails que nos avisan de nuevos comentarios, Hablad muy poco, leed e investigad, Y PENSAR EN SOLITARIO, mucho, y contad muy poco y de manera concisa, con el único objeto de ayudarnos a dar un pasito.
    5. Entre nosotros habrá catedráticas y analfabetos, pero todos vamos a pasarlo bien.
    6. Olvidaos de los egoísmos. Por cierto, no nos hace falta, de momento, ninguna otra página, ya que nos sobra con la sección de comentarios de este artículo.
    7. Empecemos a navegar y, pasado el tiempo, tendremos una apabullante construcción sobre las aguas, con cimientos absolutamente inseguros (la cuadratura del círculo), pero que alcanzará hasta las dimensiones desconocidas. Vayamos.

  8. corbur Says:

    Ah, no os olvidéis de la clave ppal. para leer mi nota anterior. Es la siguiente: olvidad el color de mi chaqueta, mi pedantería, mi locura, y CENTRAOS EN LO QUE SE DICE, por favor, ya que sóis gente sana, no perdáis el tiempo yéndoos por las ramas -más bien apartadlas-, que hay mucha tarea.
    Un beso.

  9. Victoria Says:

    Creo que con los comentarios anteriores se establecen dos vertientes, los matemáticos o científicos teóricos como almar o Ferc o Luis y los “constructivistas” como Chaquetanegra o yo: si no se puede construir o medir, no existe.

    Luis, ¿con poner log pi o pi al cuadrado ya significa que existe? ¿cuánto es? Escribir no es obtener.

    Yo podré dibujar un círculo de radio RACIONAL que quiera, pero nunca sabré cuál es su área real gracias a nuestro amigo pi. ¿O hay alguien capaz que hacer un círculo de área 2 cm cuadrados?

    • Luis Says:

      Dado que existe un método para calcular la raíz de pi con tantas crifras decimales como quieras (por ejemplo, hay series de Taylor que convergen a raíz de pi), habrá que admitir que ese número existe. El argumento es válido incluso desde un punto de vista constructivista, ya que se puede obtener cualquiera de las infinitas cifras decimales de ese número. Vale que la construcción no es geométrica, pero ¿por qué hay que limitarse a construcciones geométricas?

  10. masabadell Says:

    ¡Ay, los griegos, que mal hicieron a las matemáticas!
    Si digo esto es porque los griegos desestimaron la artimética y el álgebra -salvo para cuestiones banales- y se concentraron en la geometría.
    De ahí que todas las pretendidas demostraciones de la cuadratua del círculo pasan por dibujar -herencia de los Elementos de la geometría de Euclides- y no por resolver numéricamente ecuaciones.
    Dicho esto, cualquier demostración geométrica de un problema algebraico es una mera aproximación, no un resultado exacto, salvo en ciertas ocasiones (que no es esta). El problema de la cuadratura del círculo es un problema algebraico, que es resolver la ecuación
    l^2 = pi r^2
    ¿Se puede dibujar una linea recta que sea exactamente pi? No. Los griegos ya quisieron obtener una solución exacta geométrica al valor de pi y no lo consiguieron; ni nadie desde entonces.
    Pi es un número trascendente, como he dicho en la entrada. Esto quiere decir que pi no se puede obtener mediante regla y compás porque si así fuera, pi sería solución algebraica de un polinomio con coeficientes racionales. Y no lo es, como demostró Lindemann en 1882. Punto.

    • Sergio Hdez. Says:

      Hola, yo no creo que una aproximacion “geometrica” a un problema algebraico sea tan mala como comentas aqui… al fin y al cabo, geometria y algebra -y analisis o topologia- hablan todas de lo mismo, son solo divisiones artificiales, y si se hace rigurosamente, es tan buena una demostracion “con dibujitos” como otra demostración “con letritas” (los algebraicos sois matematicos “de letras”, si se me permite el chiste).

      Aunque entiendo tu queja… una demostracion geometrica es, en general, un lio increible de rayitas superpuestas, mientras que una “algebraica” es mas sencilla de leer, analizar y refutar (es más “lineal” en su redacción).

      Hay demostraciones algebraicas tan malas y engañosas como sus equivalentes geometricas: ¿cuantas veces hemos visto demostraciones algebraicas fraudulentas de que 1=0 y este tipo de cosas? Y no siempre es facil desmontarlas, las hay muy elaboradas…

      Para mi las matematicas son geometria pura, para otros numeros puros, para otros funciones en espacios exoticos, y para otros, un cero en un examen… y todos tenemos una parte de razón.

  11. Sergio Hdez. Says:

    Hola a todos, interesante que las matematicas levanten tantas “ampoyas”!

    Solo queria aclarar que, el que uno pueda o no dibujar un segmento con longitud X, no quiere decir que X exista o deje de existir: Nadie puede dibujar un segmente de longitud 1, al microscopio siempre sobrara/faltar algo, pero eso es un tema de “saber dibujar” y no implica la existencia o no del 1 como tal.

    Nadie puede dibujar PI, ni escribir todos sus decimales, y eso no dice nada de PI… bueno, poca cosa.

    Si quereis ver el problema geométricamente, lo cual es 100% correcto matematicamente (disiento de quien dice que una demostracion “geométrica” no es tan buena como una algebraica, es cambiar letras y numeros por lineas y curvas, solo cuestion del lenguaje), la cosa es asi:

    “A partir de un circulo intentar construir, usando solo una regla sin marcas y un compas, un cuadrado de la misma superficie”.

    Si se permite usar otras herramientas, la construcción ES posible, pero en algebra es importante el que se pueda o no construir con regla y compas una cantidad, ya que es la base de los grupos de Galois y la resolución de polinomios en general.

    Yo tengo un librito de un “matematico” aficionado de Murcia, el matematico “Ferez”, que demostró tambien la cuadratura del circulo en estos terminos, y bueno, te ries un poco viendo sus argumentos y te maravillas del ainco con el que se toman algunos estas cosas “imposibles”.

  12. Teaius Says:

    Pues hubo una vez a finales del XIX un tal Edward Johnston Goodwin que cuadró el círculo dándole un valor de pi=3,2 exácto. Y registró este valor en la propiedad intelectual de Estados Unidos y varios paises europeos. Incluso consiguió que llevaran al senado de Indiana un proyecto de ley “para establecer el correcto valor de pi” donde pretendía cambiar los libros de texto, cedería los derechos de uso del correcto valor de pi al estado pero cobraría royalties a todos los demás. Afortunadamente el día de la votación estaba de visita en el senado un catedrático de matemáticas que les sacó los colores a todos y pospusieron la votación indefinidamente.

    David Singmaster, «The legal values of pi», The Mathematical Intelligencer, 7 (núm. 2), 69 (1985).

    http://es.wikipedia.org/wiki/Proyecto_de_ley_de_Indiana_sobre_Pi

  13. Gregorio Says:

    Parece que esto de las Matemáticas es como el arte… sin estar más o menos metido dentro todo lo que puedes hacer son disquisiciones filosóficas pero sin entender realmente lo que ocurre.

    Por cierto, no estoy de acuerdo con Sergio Hernández cuando dice “en algebra es importante el que se pueda o no construir con regla y compas una cantidad, ya que es la base de los grupos de Galois y la resolución de polinomios en general”. El construir o no una cantidad con regla y compás no es la base de la teoría de Galois, sino todo lo contrario: un divertido corolario.

    La base de la teoría de Galois son los grupos de simetrías y el encontrar solución de ecuaciones polinómicas. Lo que pasa es que empezando por ahí te pones a tirar del hilo, y resulta que es imposible cuadrar el círculo con regla y compás, es imposible trisectar un ángulo con regla y compás, es imposible duplicar el volumen de un cubo con regla y compás… incluso hay muchos polígonos imposibles de construir (el heptágono, por ejemplo, es imposible de construir con regla y compás).

    ¡Ah! ¡Es tan hermoso y a la vez perturbador el encontrar una demostración de que algo es imposible! :)

    saludos!

      • Gregorio Says:

        Si he entendido bien la animación (el color negro de fondo no ayuda) esa construcción hace la mediatriz de un radio, desde el diámetro hasta la circunferencia. Supongamos que el radio vale 1. Por el Teorema de Pitágoras se ve que entonces el segmento que está construyendo como el lado del heptágono es raiz(3)/2=0.866025404 (aprox)

        Pero en un heptágono de radio 1, el lado debería ser 2*sen(360/(2*7))=1.09863037

        Así que es un método bastante poco exacto de hacer un heptágono regular.

      • Gregorio Says:

        perdón, he revisado los cálculos porque me parecía un error demasiado exagerado.

        me había equivocado en el cálculo porque el seno lo tenía en radianes y, por tanto, el lado del heptágono es:

        2*sin(PI/7)=0.867767478 (aprox)

        así que es una buena aproximación, pero una aproximación al fin y al cabo.


        • Supongo que tampoco se puede dibujar exacamente una linea con longitud 3,333333333333333 periodo. Pero si afinamos más tampoco es posible dibujar una circunferencia puesto que habría que definir si la medición es a la cara interior del trazo, al centro del trazo o a la cara exterior. Lo mismo si queremos dibujar una segmento de longitud dentro de los números naturales, porque no seremos capaces nunca de hacer coincidir nuestro trazo con la línea de referencia de medida. Puesto que en dibujo siempre existe lo que llamamos el trazo (porque si no no existiría el dibujo obviamente) siempre tendremos el problema del trazo y qué criterio elegir: a cara interior del trazo, media o exterior. Y aun consiguiendo llegar a un criterio único también tendríamos el problema de cómo medir ese límite de cara exterior, media o externa, ya que el propio instrumento de medida impediría encontrar el punto exacto, o sea que entraríamos en una cuestión de mecánica cuántica.

          Salvado este punto, en mi opinión, y desde el punto de vista del dibujo, yo aceptaría soluciones de aproximación (es decir siempre habremos de admitir un pequeño error, que siempre lo habrá) a la cuadratura del círculo y éstas se podrían clasificar en función del grado de aproximación (como ya se encuentran soluciones por internet, de hecho a mí se me ha ocurrido alguna que de momento no he expuesto).


          • No, en realidad eso es muy fácil de construir. No es más que un segmento de longitud 10 partido en 3 (mediante el teorema de Thales). De hecho, se puede construir cualquier segmento de longitud racional, cerrado con la operación “raíz cuadrada”.

            Del resto de cosas que comentas no he entendido muy bien todo, así que no puedo responder. Pero yo juraría que el post se ha hecho desde el punto de vista matemático. saludos! Gregorio.


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